Resolver los problemas matemáticos del examen.

Understand the Problem

El documento presenta una serie de problemas matemáticos y de cálculo relacionados con funciones de ingresos, costos, utilidad y límites. Se requiere determinar ecuaciones, calcular límites, encontrar funciones de utilidad y maximizar la utilidad en diferentes escenarios.

Answer

1. $y = 1.7828z - 364.4$, $y = 2366.8$ 2. $4$ 3. (a) $U(x) = -5x^2 + 480x - 1000$, (b) $U'(x) = -10x + 480$, (c) $x = 48$, $U(48) = 10520$ 4. $U(t) = \frac{1}{2}t^4 - t^3 - \frac{5}{2}t^2 - 200t + 50$, $U(9) = 599$

Steps to Solve

Hallar la ecuación lineal que relaciona el precio al menudeo con el precio al mayoreo

Tenemos dos puntos: $(1232, 1832)$ para los tenis y $(721, 921)$ para la sudadera. Calculamos la pendiente $m$: $$m = \frac{1832 - 921}{1232 - 721} = \frac{911}{511} \approx 1.7828$$ Usamos la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta: $y - y_1 = m(z - z_1)$. Usando el punto $(721, 921)$: $y - 921 = 1.7828(z - 721)$ $y = 1.7828z - 1.7828(721) + 921$ $y = 1.7828z - 1285.4 + 921$ $y = 1.7828z - 364.4$

Determinar el precio al menudeo de la mochila

Sustituimos $z = 1532$ en la ecuación encontrada: $y = 1.7828(1532) - 364.4$ $y = 2731.2 - 364.4$ $y = 2366.8$

Crear una tabla de valores para calcular el límite

Vamos a evaluar la función $f(x) = \frac{x+5}{x-1}$ cerca de $x = 3$:

x	2.9	2.99	2.999	3	3.001	3.01	3.1
f(x)	3.9655	3.9967	3.9997	error	4.0003	4.0033	4.0345

A medida que $x$ se acerca a 3, $f(x)$ se acerca a 4.

Calcular la función de utilidad U(x)

$U(x) = I(x) - C(x) = (500x - 5x^2) - (1000 + 20x)$ $U(x) = 500x - 5x^2 - 1000 - 20x$ $U(x) = -5x^2 + 480x - 1000$

Calcular la función de utilidad marginal U'(x)

$U'(x) = \frac{d}{dx}(-5x^2 + 480x - 1000) = -10x + 480$

Encontrar el valor de x que maximiza la utilidad

Igualamos $U'(x)$ a cero y resolvemos para $x$: $-10x + 480 = 0$ $10x = 480$ $x = 48$

Calcular la utilidad máxima

Sustituimos $x = 48$ en la función de utilidad $U(x)$: $U(48) = -5(48)^2 + 480(48) - 1000$ $U(48) = -5(2304) + 23040 - 1000$ $U(48) = -11520 + 23040 - 1000$ $U(48) = 10520$

Encontrar la expresión para la utilidad (antiderivada) de la empresa

Dada la utilidad marginal $U'(t) = 2t^3 - 3t^2 - 5t - 200$, encontramos la antiderivada $U(t)$: $U(t) = \int (2t^3 - 3t^2 - 5t - 200) dt$ $U(t) = \frac{2}{4}t^4 - \frac{3}{3}t^3 - \frac{5}{2}t^2 - 200t + C$ $U(t) = \frac{1}{2}t^4 - t^3 - \frac{5}{2}t^2 - 200t + C$ Usamos la condición inicial $U(0) = 50$ para encontrar $C$: $50 = \frac{1}{2}(0)^4 - (0)^3 - \frac{5}{2}(0)^2 - 200(0) + C$ $C = 50$ Por lo tanto, $U(t) = \frac{1}{2}t^4 - t^3 - \frac{5}{2}t^2 - 200t + 50$

Determinar la utilidad dentro de 9 meses (U(9))

Sustituimos $t = 9$ en la función de utilidad $U(t)$: $U(9) = \frac{1}{2}(9)^4 - (9)^3 - \frac{5}{2}(9)^2 - 200(9) + 50$ $U(9) = \frac{1}{2}(6561) - 729 - \frac{5}{2}(81) - 1800 + 50$ $U(9) = 3280.5 - 729 - 202.5 - 1800 + 50$ $U(9) = 3280.5 - 729 - 202.5 - 1750$ $U(9) = 599$

La ecuación es $y = 1.7828z - 364.4$, y el precio al menudeo de la mochila es de $2366.8.
El límite es 4.
(a) $U(x) = -5x^2 + 480x - 1000$, (b) $U'(x) = -10x + 480$, (c) $x = 48$ y la utilidad máxima es $10520.
La expresión para la utilidad es $U(t) = \frac{1}{2}t^4 - t^3 - \frac{5}{2}t^2 - 200t + 50$, y la utilidad dentro de 9 meses es $599 dls.

More Information

La utilidad máxima ocurre cuando la utilidad marginal es cero. La antiderivada de la utilidad marginal nos da la función de utilidad.

Tips

No calcular la pendiente correctamente en el problema 1.
Errores algebraicos al simplificar las ecuaciones.
Olvidar la constante de integración al calcular la antiderivada.
Equivocarse al evaluar la función de utilidad en el valor que maximiza la utilidad.

AI-generated content may contain errors. Please verify critical information

Thank you for voting!