Realice las siguientes operaciones entre números complejos, exprese los resultados en la forma estándar a + bi y grafíquelo en el plano complejo. Para cada uno de los resultados re... Realice las siguientes operaciones entre números complejos, exprese los resultados en la forma estándar a + bi y grafíquelo en el plano complejo. Para cada uno de los resultados realice el producto de él con su conjugado. a) (5 + i) - (-1 + 7i) / (2 - 3i) + (6 + 5i) b) (1 - 2i)^3 / 5i^6 c) [4 + √-81 / 5 - √-100] * [√-16 * √-25 / √-9] d) (i^3 + 2i^13)^4 e) [(5i - 3)(2i + 1)]^-2 f) [(2 + 6i)^2]^-1 g) (√2/2 - √2/2 * i)^20 Read more

Steps to Solve

a) $\frac{(5 + i) - (-1 + 7i)}{(2 - 3i) + (6 + 5i)}$

1. Simplificar el numerador y el denominador individualmente

   • Numerador: $(5 + i) - (-1 + 7i) = 5 + i + 1 - 7i = 6 - 6i$
   • Denominador: $(2 - 3i) + (6 + 5i) = 2 - 3i + 6 + 5i = 8 + 2i$

2. Dividir los números complejos

   • Tenemos $\frac{6 - 6i}{8 + 2i}$. Para dividir, multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado del denominador: $$ \frac{6 - 6i}{8 + 2i} \cdot \frac{8 - 2i}{8 - 2i} = \frac{(6 - 6i)(8 - 2i)}{(8 + 2i)(8 - 2i)} $$

3. Expandir el numerador y el denominador

   • Numerador: $(6 - 6i)(8 - 2i) = 6(8) + 6(-2i) - 6i(8) - 6i(-2i) = 48 - 12i - 48i + 12i^2 = 48 - 60i - 12 = 36 - 60i$
   • Denominador: $(8 + 2i)(8 - 2i) = 8(8) + 8(-2i) + 2i(8) + 2i(-2i) = 64 - 16i + 16i - 4i^2 = 64 + 4 = 68$

4. Expresar el resultado en la forma $a + bi$

   • $\frac{36 - 60i}{68} = \frac{36}{68} - \frac{60}{68}i = \frac{9}{17} - \frac{15}{17}i$

5. Calcular el producto con el conjugado

   • El conjugado de $\frac{9}{17} - \frac{15}{17}i$ es $\frac{9}{17} + \frac{15}{17}i$. Multiplicamos: $(\frac{9}{17} - \frac{15}{17}i)(\frac{9}{17} + \frac{15}{17}i) = (\frac{9}{17})^2 + (\frac{15}{17})^2 = \frac{81}{289} + \frac{225}{289} = \frac{306}{289} = \frac{18}{17}$

b) $\frac{(1 - 2i)^3}{5i^6}$

1. Simplificar el numerador $(1 - 2i)^3 = (1 - 2i)(1 - 2i)(1 - 2i) = (1 - 4i + 4i^2)(1 - 2i) = (1 - 4i - 4)(1 - 2i) = (-3 - 4i)(1 - 2i) = -3 + 6i - 4i + 8i^2 = -3 + 2i - 8 = -11 + 2i$

2. Simplificar el denominador $5i^6 = 5(i^2)^3 = 5(-1)^3 = 5(-1) = -5$

3. Dividir los números complejos $\frac{-11 + 2i}{-5} = \frac{11}{5} - \frac{2}{5}i$

4. Calcular el producto con el conjugado El conjugado de $\frac{11}{5} - \frac{2}{5}i$ es $\frac{11}{5} + \frac{2}{5}i$. Multiplicamos: $(\frac{11}{5} - \frac{2}{5}i)(\frac{11}{5} + \frac{2}{5}i) = (\frac{11}{5})^2 + (\frac{2}{5})^2 = \frac{121}{25} + \frac{4}{25} = \frac{125}{25} = 5$

c) $[\frac{4 + \sqrt{-81}}{5 - \sqrt{-100}}] * [\frac{\sqrt{-16} * \sqrt{-25}}{\sqrt{-9}}]$

1. Simplificar los términos con raíces negativas

   • $\sqrt{-81} = 9i$
   • $\sqrt{-100} = 10i$
   • $\sqrt{-16} = 4i$
   • $\sqrt{-25} = 5i$
   • $\sqrt{-9} = 3i$

2. Sustituir en la expresión original $[\frac{4 + 9i}{5 - 10i}] * [\frac{4i * 5i}{3i}] = [\frac{4 + 9i}{5 - 10i}] * [\frac{20i^2}{3i}] = [\frac{4 + 9i}{5 - 10i}] * [\frac{-20}{3i}]$

3. Simplificar la segunda fracción $\frac{-20}{3i} = \frac{-20}{3i} * \frac{-i}{-i} = \frac{20i}{-3i^2} = \frac{20i}{3}$

4. Multiplicar las fracciones $[\frac{4 + 9i}{5 - 10i}] * [\frac{20i}{3}] = \frac{(4 + 9i)(20i)}{3(5 - 10i)} = \frac{80i + 180i^2}{15 - 30i} = \frac{80i - 180}{15 - 30i} = \frac{-180 + 80i}{15 - 30i}$

5. Dividir los números complejos $\frac{-180 + 80i}{15 - 30i} \cdot \frac{15 + 30i}{15 + 30i} = \frac{(-180 + 80i)(15 + 30i)}{(15 - 30i)(15 + 30i)}$

• Numerador: $(-180 + 80i)(15 + 30i) = -180(15) - 180(30i) + 80i(15) + 80i(30i) = -2700 - 5400i + 1200i + 2400i^2 = -2700 - 4200i - 2400 = -5100 - 4200i$
• Denominador: $(15 - 30i)(15 + 30i) = 15^2 + 30^2 = 225 + 900 = 1125$

6. Expresar el resultado en la forma $a + bi$ $\frac{-5100 - 4200i}{1125} = \frac{-5100}{1125} - \frac{4200}{1125}i = -\frac{68}{15} - \frac{56}{15}i$

7. Calcular el producto con el conjugado El conjugado de $-\frac{68}{15} - \frac{56}{15}i$ es $-\frac{68}{15} + \frac{56}{15}i$. Multiplicamos: $(-\frac{68}{15} - \frac{56}{15}i)(-\frac{68}{15} + \frac{56}{15}i) = (-\frac{68}{15})^2 + (\frac{56}{15})^2 = \frac{4624}{225} + \frac{3136}{225} = \frac{7760}{225} = \frac{1552}{45}$

d) $(i^3 + 2i^{13})^4$

1. Simplificar las potencias de $i$ $i^3 = -i$ $i^{13} = i^{12} \cdot i = (i^4)^3 \cdot i = 1^3 \cdot i = i$

2. Sustituir en la expresión original $(i^3 + 2i^{13})^4 = (-i + 2i)^4 = (i)^4 = 1$

3. Calcular el producto con el conjugado El conjugado de $1$ és $1$. Multiplicamos: $1 * 1 = 1$

e) $[(5i - 3)(2i + 1)]^{-2}$

1. Simplificar el interior del paréntesis $(5i - 3)(2i + 1) = 5i(2i) + 5i(1) - 3(2i) - 3(1) = 10i^2 + 5i - 6i - 3 = -10 - i - 3 = -13 - i$

2. Elevar a la potencia -2 $(-13 - i)^{-2} = \frac{1}{(-13 - i)^2} = \frac{1}{(-13 - i)(-13 - i)} = \frac{1}{169 + 13i + 13i + i^2} = \frac{1}{169 + 26i - 1} = \frac{1}{168 + 26i}$

3. Racionalizar el denominador $\frac{1}{168 + 26i} \cdot \frac{168 - 26i}{168 - 26i} = \frac{168 - 26i}{168^2 + 26^2} = \frac{168 - 26i}{28224 + 676} = \frac{168 - 26i}{28900} = \frac{168}{28900} - \frac{26}{28900}i = \frac{42}{7225} - \frac{13}{14450}i$

4. Calcular el producto con el conjugado El conjugado de $\frac{42}{7225} - \frac{13}{14450}i$ es $\frac{42}{7225} + \frac{13}{14450}i$. Multiplicamos: $(\frac{42}{7225} - \frac{13}{14450}i)(\frac{42}{7225} + \frac{13}{14450}i) = (\frac{42}{7225})^2 + (\frac{13}{14450})^2 = \frac{1764}{52200625} + \frac{169}{208802500} = \frac{7056 + 169}{208802500} = \frac{7225}{208802500} = \frac{1}{28900}$

f) $[(2 + 6i)^2]^{-1}$

1. Simplificar el interior del paréntesis $(2 + 6i)^2 = (2 + 6i)(2 + 6i) = 4 + 12i + 12i + 36i^2 = 4 + 24i - 36 = -32 + 24i$

2. Elevar a la potencia -1 $(-32 + 24i)^{-1} = \frac{1}{-32 + 24i}$

3. Racionalizar el denominador $\frac{1}{-32 + 24i} \cdot \frac{-32 - 24i}{-32 - 24i} = \frac{-32 - 24i}{(-32)^2 + (24)^2} = \frac{-32 - 24i}{1024 + 576} = \frac{-32 - 24i}{1600} = \frac{-32}{1600} - \frac{24}{1600}i = -\frac{1}{50} - \frac{3}{200}i$

4. Calcular el producto con el conjugado El conjugado de $-\frac{1}{50} - \frac{3}{200}i$ es $-\frac{1}{50} + \frac{3}{200}i$. Multiplicamos: $(-\frac{1}{50} - \frac{3}{200}i)(-\frac{1}{50} + \frac{3}{200}i) = (-\frac{1}{50})^2 + (\frac{3}{200})^2 = \frac{1}{2500} + \frac{9}{40000} = \frac{16 + 9}{40000} = \frac{25}{40000} = \frac{1}{1600}$

g) $(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i)^{20}$

1. Expresar en forma polar $r = \sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{\frac{2}{4} + \frac{2}{4}} = \sqrt{1} = 1$ $\theta = \arctan(\frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}) = \arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}$

2. Aplicar la fórmula de De Moivre $(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i)^{20} = (1(\cos(-\frac{\pi}{4}) + i\sin(-\frac{\pi}{4})))^{20} = 1^{20} (\cos(-\frac{20\pi}{4}) + i\sin(-\frac{20\pi}{4})) = \cos(-5\pi) + i\sin(-5\pi) = \cos(-\pi) + i\sin(-\pi) = -1 + 0i = -1$

3. Calcular el producto con el conjugado El conjugado de $-1$ és $-1$. Multiplicamos: $-1 * -1 = 1$