Realice las siguientes operaciones entre números complejos, exprese los resultados en la forma estándar a + bi y gráfiquelo en el plano complejo. Para cada uno de los resultados re... Realice las siguientes operaciones entre números complejos, exprese los resultados en la forma estándar a + bi y gráfiquelo en el plano complejo. Para cada uno de los resultados realice el producto de él con su conjugado.
Understand the Problem
La pregunta pide realizar operaciones con números complejos y expresarlas en forma estándar, además de graficarlas en el plano complejo. Se requiere también realizar el producto con su conjugado.
Answer
$6 - 6i$, producto: $72$; $8 + 2i$, producto: $68$; $-11 + 2i$, producto: $125$.
Answer for screen readers
Los resultados son:
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Primera operación:
- Resultado: $6 - 6i$
- Producto con el conjugado: $72$
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Segunda operación:
- Resultado: $8 + 2i$
- Producto con el conjugado: $68$
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Tercera operación:
- Resultado: $-11 + 2i$
- Producto con el conjugado: $125$
Steps to Solve
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Operación de suma y resta de números complejos
Primero resolvemos la operación en la parte (a): [ (5 + i) - (-1 + 7i) = (5 + 1) + (1 - 7)i = 6 - 6i ]
Ahora sumamos la segunda parte: [ (2 - 3i) + (6 + 5i) = (2 + 6) + (-3 + 5)i = 8 + 2i ]
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Forma estándar de los resultados
Los resultados ya están en forma estándar:
- Primer resultado: $6 - 6i$
- Segundo resultado: $8 + 2i$
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Producto con el conjugado
Para el primer resultado: [ (6 - 6i)(6 + 6i) = 36 + 36 = 72 ]
Para el segundo resultado: [ (8 + 2i)(8 - 2i) = 64 + 4 = 68 ]
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Graficar los números complejos
Grafica en el plano complejo:
- Para $6 - 6i$, coloca un punto en $(6, -6)$.
- Para $8 + 2i$, coloca un punto en $(8, 2)$.
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Operación en la parte (b)
Primero, calculamos el cubo: [ (1 - 2i)^3 = (1 - 2i)(1 - 2i)(1 - 2i) ] Multiplicando: [ (1 - 2i)(1 - 2i) = 1 - 4i - 4 = -3 - 4i ] Ahora multiplicamos: [ (-3 - 4i)(1 - 2i) = -3 + 6i - 4i - 8 = -11 + 2i ]
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Forma estándar del resultado
El resultado ya está en forma estándar: $-11 + 2i$.
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Producto con el conjugado
[ (-11 + 2i)(-11 - 2i) = 121 + 4 = 125 ]
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Graficar el número complejo
Grafica en el plano complejo:
- Para $-11 + 2i$, coloca un punto en $(-11, 2)$.
Los resultados son:
-
Primera operación:
- Resultado: $6 - 6i$
- Producto con el conjugado: $72$
-
Segunda operación:
- Resultado: $8 + 2i$
- Producto con el conjugado: $68$
-
Tercera operación:
- Resultado: $-11 + 2i$
- Producto con el conjugado: $125$
More Information
Los números complejos nos permiten unir partes reales e imaginarias, lo que los hace muy útiles en varias áreas de matemáticas y física. La representación gráfica en el plano complejo es clave para visualizar operaciones como suma y multiplicación.
Tips
- Confundir la suma y resta de las partes imaginarias.
- Olvidar cambiar el signo en el conjugado cuando se multiplica.
Para evitar estas confusiones, revisa cada parte de la operación de forma aislada.
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