Похідна функції
Understand the Problem
Запит стосується похідної функції в математиці. Похідна є мірою зміни функції відносно її змінної. У цьому запиті йдеться про загальне поняття похідної, можливо, потрібні пояснення або приклади.
Answer
Похідна функції $f(x) = x^2$ дорівнює $f'(x) = 2x$.
Answer for screen readers
Похідна функції $f(x) = x^2$ дорівнює $f'(x) = 2x$.
Steps to Solve
- Визначення похідної функції
Щоб знайти похідну функції, потрібно скористатися основним визначенням похідної. Похідна функції $f(x)$ в точці $x$ визначається як межа:
$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} $$
- Приклад обчислення похідної
Розглянемо, наприклад, функцію $f(x) = x^2$. Щоб знайти її похідну, підставимо у формулу:
$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h} $$
- Спрощення виразу
Спочатку спростимо чисельник:
$ (x + h)^2 - x^2 = x^2 + 2xh + h^2 - x^2 = 2xh + h^2 $.
Тепер підставимо це у формулу похідної:
$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h} $$
- Скорочення та обчислення межі
Скорочуємо $h$:
$$ f'(x) = \lim_{h \to 0} (2x + h) $$
Тепер, коли ми взяли межу, отримаємо:
$$ f'(x) = 2x $$
- Фінальний результат
Отже, похідна функції $f(x) = x^2$ дорівнює $f'(x) = 2x$.
Похідна функції $f(x) = x^2$ дорівнює $f'(x) = 2x$.
More Information
Похідна функції дає змогу зрозуміти, як швидко змінюється функція в будь-якій точці. Це корисно в багатьох застосуваннях, від фізики до економіки. Наприклад, похідна для позиції об'єкта в часі може показати його швидкість.
Tips
- Неправильне застосування формули похідної, наприклад, пропуск деяких етапів при спрощенні.
- Неувага до межі $h \to 0$, яка важлива для коректного обчислення похідної.
AI-generated content may contain errors. Please verify critical information
