Pochodne ważniejszych funkcji
Understand the Problem
Pytanie dotyczy pochodnych ważniejszych funkcji w matematyce, zawiera wzory na różne pochodne.
Answer
Pochodna funkcji wykładniczej to $(e^x)' = e^x$, pochodna funkcji trygonometrycznej to $(sin x)' = cos x$, a pochodna funkcji logarytmicznej to $(ln x)' = \frac{1}{x}$.
Answer for screen readers
Pochodne funkcji to:
- $(c)' = 0$,
- $(e^x)' = e^x$,
- $(tg x)' = \frac{1}{cos^2 x}$,
- $(ln x)' = \frac{1}{x}$,
- $(arctg x)' = \frac{1}{1+x^2}$,
- $(cosh x)' = sinh x$,
- $(arsinh x)' = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$,
- $(arctgh x)' = \frac{1}{1-x^2}$,
- $(x^n)' = nx^{n-1}$,
- $(sin x)' = cos x$,
- $(ctg x)' = -\frac{1}{sin^2 x}$,
- $(log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$,
- $(arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$,
- $(arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$,
- $(sinh x)' = cosh x$,
- $(tgh x)' = \frac{1}{cosh^2 x}$,
- $(ctgh x)' = -\frac{1}{sinh^2 x}$,
- $(artgh x)' = \frac{1}{1-x^2}$.
Steps to Solve
-
Zrozumienie pochodnych Każda funkcja ma swoją pochodną, co pozwala wyznaczyć nachylenie stycznej do krzywej funkcji w danym punkcie.
-
Przykład pochodnej stałej Dla funkcji stałej $c$, pochodna wynosi $(c)' = 0$, ponieważ stała nie zmienia się wzdłuż osi x.
-
Pochodna funkcji wykładniczej Pochodna funkcji wykładniczej $e^x$ to $(e^x)' = e^x$. Oznacza to, że nachylenie tej funkcji w każdym punkcie jest równe wartości funkcji w tym punkcie.
-
Pochodne funkcji trygonometrycznych Na przykład, dla funkcji $sin x$ mamy $(sin x)' = cos x$ i dla $tg x$, $(tg x)' = \frac{1}{cos^2 x}$, co jest równoważne $sec^2 x$.
-
Pochodna funkcji logarytmicznej Pochodna funkcji logarytmicznej $ln x$ wynosi $(ln x)' = \frac{1}{x}$, co wskazuje, że dla rosnącego x nachylenie maleje.
-
Pochodne funkcji odwrotnej Dla funkcji odwrotnej, takich jak $arctg x$, pochodna jest określona przez $(arctg x)' = \frac{1}{1+x^2}$, co wskazuje na zasięg tej funkcji.
-
Pochodne funkcji hiperbolicznych W przypadku funkcji hiperbolicznych, mamy $(sinh x)' = cosh x$ oraz $(tgh x)' = \frac{1}{cosh^2 x}$.
-
Podsumowanie Używając tych wzorów, możemy obliczyć pochodne różnych funkcji zgodnie z podanymi wzorami.
Pochodne funkcji to:
- $(c)' = 0$,
- $(e^x)' = e^x$,
- $(tg x)' = \frac{1}{cos^2 x}$,
- $(ln x)' = \frac{1}{x}$,
- $(arctg x)' = \frac{1}{1+x^2}$,
- $(cosh x)' = sinh x$,
- $(arsinh x)' = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$,
- $(arctgh x)' = \frac{1}{1-x^2}$,
- $(x^n)' = nx^{n-1}$,
- $(sin x)' = cos x$,
- $(ctg x)' = -\frac{1}{sin^2 x}$,
- $(log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$,
- $(arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$,
- $(arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$,
- $(sinh x)' = cosh x$,
- $(tgh x)' = \frac{1}{cosh^2 x}$,
- $(ctgh x)' = -\frac{1}{sinh^2 x}$,
- $(artgh x)' = \frac{1}{1-x^2}$.
More Information
Pochodne funkcji są kluczowe w analizie matematycznej, ponieważ pozwalają na zrozumienie, jak zmienia się funkcja w różnych punktach. Pochodne mają zastosowanie w wielu dziedzinach, takich jak fizyka, inżynieria i ekonomia.
Tips
- Błędne obliczenia w pochodnych funkcji trygonometrycznych: Należy szczególnie zwracać uwagę na znaki i funkcje odwrotne.
- Przy obliczaniu pochodnych funkcji złożonych: Użycie reguły łańcuchowej jest kluczowe, aby uzyskać prawidłowy wynik.
AI-generated content may contain errors. Please verify critical information
