Para las siguientes funciones de utilidad, dibuja el mapa de curvas de indiferencia y calcula la demanda asociada a cada uno de los bienes para cada una de ellas: U(x1, x2) = min {... Para las siguientes funciones de utilidad, dibuja el mapa de curvas de indiferencia y calcula la demanda asociada a cada uno de los bienes para cada una de ellas: U(x1, x2) = min {2x1, x2} U(x1, x2) = min {x1, 4x2} U(x1, x2) = 3x1 + x2 U(x1, x2) = x1 + 5x2

Understand the Problem

La pregunta te pide dibujar el mapa de curvas de indiferencia y calcular la demanda asociada a cada uno de los bienes para las siguientes funciones de utilidad:

U(x1, x2) = min {2x1, x2}
U(x1, x2) = min {x1, 4x2}
U(x1, x2) = 3x1 + x2
U(x1, x2) = x1 + 5x2

Este es un problema típico de microeconomía que involucra la comprensión de las preferencias del consumidor y su relación con la demanda de bienes.

Answer

1. $U(x_1, x_2) = \min\{2x_1, x_2\}$: $x_1^* = \frac{I}{p_1 + 2p_2}$, $x_2^* = \frac{2I}{p_1 + 2p_2}$ 2. $U(x_1, x_2) = \min\{x_1, 4x_2\}$: $x_1^* = \frac{4I}{4p_1 + p_2}$, $x_2^* = \frac{I}{4p_1 + p_2}$ 3. $U(x_1, x_2) = 3x_1 + x_2$: Si $3p_2 > p_1$: $x_1^* = \frac{I}{p_1}, x_2^* = 0$; Si $3p_2 < p_1$: $x_1^* = 0, x_2^* = \frac{I}{p_2}$ 4. $U(x_1, x_2) = x_1 + 5x_2$: Si $p_2 > 5p_1$: $x_1^* = 0, x_2^* = \frac{I}{p_2}$; Si $p_2 < 5p_1$: $x_1^* = \frac{I}{p_1}, x_2^* = 0$

Steps to Solve

Entender las funciones de utilidad

Tenemos cuatro funciones de utilidad:

$U(x_1, x_2) = \min{2x_1, x_2}$
$U(x_1, x_2) = \min{x_1, 4x_2}$
$U(x_1, x_2) = 3x_1 + x_2$
$U(x_1, x_2) = x_1 + 5x_2$

Análisis de la primera función de utilidad: $U(x_1, x_2) = \min{2x_1, x_2}$

Esta es una función de utilidad de complementos perfectos. El consumidor quiere consumir $x_1$ y $x_2$ en una proporción fija donde $2x_1 = x_2$

Para derivar las demandas, resolvemos el problema de optimización restringida:

$$ \begin{aligned} & \max_{x_1, x_2} \min{2x_1, x_2} \ & \text{s.a. } p_1x_1 + p_2x_2 = I \end{aligned} $$

Como son complementos perfectos, $2x_1 = x_2$. Sustituyendo en la restricción presupuestaria:

$p_1x_1 + p_2(2x_1) = I$ $x_1(p_1 + 2p_2) = I$ $x_1^* = \frac{I}{p_1 + 2p_2}$

Ahora, encontramos $x_2$:

$x_2^* = 2x_1^* = \frac{2I}{p_1 + 2p_2}$

Análisis de la segunda función de utilidad: $U(x_1, x_2) = \min{x_1, 4x_2}$

También es una tipo función de utilidad de complementos perfectos. El consumidor querrá consumir $x_1$ y $x_2$ en una proporción fija en que $x_1 = 4x_2$.

Para derivar las demandas, resolvemos el problema de optimización restringida:

$$ \begin{aligned} & \max_{x_1, x_2} \min{x_1, 4x_2} \ & \text{s.a. } p_1x_1 + p_2x_2 = I \end{aligned} $$

Como son complementos perfectos, $x_1 = 4x_2$. Sustituyendo en la restricción presupuestaria:

$p_1(4x_2) + p_2x_2 = I$ $x_2(4p_1 + p_2) = I$ $x_2^* = \frac{I}{4p_1 + p_2}$

Ahora, encontramos $x_1$:

$x_1^* = 4x_2^* = \frac{4I}{4p_1 + p_2}$

Análisis de la tercera función de utilidad: $U(x_1, x_2) = 3x_1 + x_2$

Esta es una función de utilidad lineal, lo que indica que los bienes son sustitutos perfectos.

Para derivar las demandas, resolvemos el problema de optimización restringida:

$$ \begin{aligned} & \max_{x_1, x_2} 3x_1 + x_2 \ & \text{s.a. } p_1x_1 + p_2x_2 = I \end{aligned} $$

Aquí, el consumidor consumirá solo el bien más barato en términos de utilidad por unidad de gasto.

Si $\frac{3}{p_1} > \frac{1}{p_2} \implies 3p_2 > p_1$: $x_1^* = \frac{I}{p_1}, x_2^* = 0$ Si $\frac{3}{p_1} < \frac{1}{p_2} \implies 3p_2 < p_1$: $x_1^* = 0, x_2^* = \frac{I}{p_2}$ Si $\frac{3}{p_1} = \frac{1}{p_2} \implies 3p_2 = p_1$: el consumidor es indiferente entre los dos bienes.

Análisis de la cuarta función de utilidad: $U(x_1, x_2) = x_1 + 5x_2$

Esta también es una función de utilidad lineal, lo que indica que los bienes son sustitutos perfectos.

Para derivar las demandas, resolvemos el problema de optimización restringida:

$$ \begin{aligned} & \max_{x_1, x_2} x_1 + 5x_2 \ & \text{s.a. } p_1x_1 + p_2x_2 = I \end{aligned} $$

Aquí, vamos a consumir solo el bien más barato en términos de utilidad por unidad de gasto.

Si $\frac{1}{p_1} > \frac{5}{p_2} \implies p_2 > 5p_1$: $x_1^* = 0, x_2^* = \frac{I}{p_2}$ Si $\frac{1}{p_1} < \frac{5}{p_2} \implies p_2 < 5p_1$: $x_1^* = \frac{I}{p_1}, x_2^* = 0$ Si $\frac{1}{p_1} = \frac{5}{p_2} \implies p_2 = 5p_1$: el consumidor es indiferente entre los dos bienes.

Para $U(x_1, x_2) = \min{2x_1, x_2}$, las demandas son: $x_1^* = \frac{I}{p_1 + 2p_2}$ $x_2^* = \frac{2I}{p_1 + 2p_2}$
Para $U(x_1, x_2) = \min{x_1, 4x_2}$, las demandas son: $x_1^* = \frac{4I}{4p_1 + p_2}$ $x_2^* = \frac{I}{4p_1 + p_2}$
Para $U(x_1, x_2) = 3x_1 + x_2$, las demandas son: Si $3p_2 > p_1$: $x_1^* = \frac{I}{p_1}, x_2^* = 0$ Si $3p_2 < p_1$: $x_1^* = 0, x_2^* = \frac{I}{p_2}$ Si $3p_2 = p_1$: el consumidor es indiferente entre los dos bienes.
Para $U(x_1, x_2) = x_1 + 5x_2$, las demandas son: Si $p_2 > 5p_1$: $x_1^* = 0, x_2^* = \frac{I}{p_2}$ Si $p_2 < 5p_1$: $x_1^* = \frac{I}{p_1}, x_2^* = 0$ Si $p_2 = 5p_1$: el consumidor es indiferente entre los dos bienes.

More Information

Las curvas de indiferencia para las funciones de utilidad de tipo mínimo (complementos perfectos) tienen forma de "L", con el vértice de la "L" situado en el punto donde se cumple la proporción fija entre los bienes. Para las funciones de utilidad lineales (sustitutos perfectos), las curvas de indiferencia son líneas rectas.

Tips

No entender la diferencia entre complementos perfectos y sustitutos perfectos.
No plantear correctamente el problema de optimización restringida.
No resolver correctamente las ecuaciones para obtener las demandas.
Olvidar los casos especiales en las funciones de utilidad lineales donde el consumidor es indiferente y puede consumir cualquier combinación de los bienes que satisfaga la restricción presupuestaria

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