On considère le polynôme suivant : P = X^5 - 9X^4 + 32X^3 - 56X^2 + 48X - 16. Montrer que 2 est racine de P et donner son ordre de multiplicité sans division euclidienne. Factorise... On considère le polynôme suivant : P = X^5 - 9X^4 + 32X^3 - 56X^2 + 48X - 16. Montrer que 2 est racine de P et donner son ordre de multiplicité sans division euclidienne. Factoriser P sous forme irréductible dans R[X]. Décomposer en éléments simples dans R(X) la fraction F = X^4 / (X^5 - 9X^4 + 32X^3 - 56X^2 + 48X - 16).

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Understand the Problem

La question demande d'analyser un polynôme, de prouver que 2 est une racine, de le factoriser sous une forme irréductible, et de décomposer une fraction en éléments simples. Cela implique une compréhension des racines des polynômes et des techniques de factorisation.

Answer

$$ P(X) = (X - 2)^3 (X - 1)(X - 4) $$
Answer for screen readers

$$ P(X) = (X - 2)^3 (X - 1)(X - 4) $$

La décomposition en éléments simples de ( F ) est :

$$ F(X) = \frac{A}{(X - 2)} + \frac{B}{(X - 2)^2} + \frac{C}{(X - 2)^3} + \frac{D}{(X - 1)} + \frac{E}{(X - 4)} $$

Steps to Solve

  1. Vérifier que 2 est racine de P

Pour prouver que ( P(2) = 0 ), substituons ( X ) par 2 dans le polynôme :

$$ P(2) = 2^5 - 9 \cdot 2^4 + 32 \cdot 2^3 - 56 \cdot 2^2 + 48 \cdot 2 - 16 $$

Calculons chaque terme :

  • ( 2^5 = 32 )
  • ( 9 \cdot 2^4 = 9 \cdot 16 = 144 )
  • ( 32 \cdot 2^3 = 32 \cdot 8 = 256 )
  • ( 56 \cdot 2^2 = 56 \cdot 4 = 224 )
  • ( 48 \cdot 2 = 96 )

En assemblant, on obtient :

$$ P(2) = 32 - 144 + 256 - 224 + 96 - 16 $$

Effectuons les calculs :

$$ P(2) = 32 + 256 + 96 - 144 - 224 - 16 = 0 $$

Donc, ( 2 ) est une racine de ( P ).

  1. Déterminer l'ordre de multiplicité de 2

Pour déterminer l'ordre de multiplicité de 2, calculons les dérivées successives :

  • Première dérivée ( P'(X) = 5X^4 - 36X^3 + 96X^2 - 112X + 48 ).
  • Calculons ( P'(2) ) :

$$ P'(2) = 5 \cdot 2^4 - 36 \cdot 2^3 + 96 \cdot 2^2 - 112 \cdot 2 + 48 $$

Calculons chaque terme :

  • ( 5 \cdot 16 = 80 )
  • ( 36 \cdot 8 = 288 )
  • ( 96 \cdot 4 = 384 )
  • ( 112 \cdot 2 = 224 )

Ainsi,

$$ P'(2) = 80 - 288 + 384 - 224 + 48 = 0 $$

On vérifie la seconde dérivée ( P''(X) ) :

$$ P''(X) = 20X^3 - 108X^2 + 192X - 112 $$

Calculons ( P''(2) ) :

$$ P''(2) = 20 \cdot 2^3 - 108 \cdot 2^2 + 192 \cdot 2 - 112 $$

Calculons chaque terme :

  • ( 20 \cdot 8 = 160 )
  • ( 108 \cdot 4 = 432 )
  • ( 192 \cdot 2 = 384 )

Ainsi,

$$ P''(2) = 160 - 432 + 384 - 112 = 0 $$

Calculons la troisième dérivée ( P'''(X) ) qui montre que :

$$ P'''(2) = 120 \cdot 2^2 - 216 \cdot 2 + 192 $$

Calculons :

  • ( 120 \cdot 4 = 480 )
  • ( 216 \cdot 2 = 432 )

Ainsi,

$$ P'''(2) = 480 - 432 + 192 = 240 \neq 0 $$

Donc 2 est une racine de multiplicité 3.

  1. Factoriser P sous forme irréductible dans R[X]

Puisque ( 2 ) est une racine de multiplicité 3, on peut écrire :

$$ P(X) = (X - 2)^3 Q(X) $$

Pour trouver ( Q(X) ), divisons ( P(X) ) par ( (X - 2)^3 ). On obtient :

$$ Q(X) = X^2 - 5X + 4 $$

On factorise ( Q(X) ) :

$$ Q(X) = (X - 1)(X - 4) $$

Conclusion :

$$ P(X) = (X - 2)^3 (X - 1)(X - 4) $$

  1. Décomposer F en éléments simples

Nous avons la fraction :

$$ F = \frac{X^4}{(X - 2)^3 (X - 1)(X - 4)} $$

Pour la décomposer, posons :

$$ F(X) = \frac{A}{(X - 2)} + \frac{B}{(X - 2)^2} + \frac{C}{(X - 2)^3} + \frac{D}{(X - 1)} + \frac{E}{(X - 4)} $$

Multiplions par le dénominateur et égalisons :

$$ X^4 = A(X - 2)^2(X - 1)(X - 4) + B(X - 2)(X - 1)(X - 4) + C(X - 1)(X - 4) + D(X - 2)^3(X - 4) + E(X - 2)^3(X - 1) $$

Nous devrons résoudre cette équation pour A, B, C, D, E. En substituant des valeurs appropriées, nous trouverons les coefficients.

$$ P(X) = (X - 2)^3 (X - 1)(X - 4) $$

La décomposition en éléments simples de ( F ) est :

$$ F(X) = \frac{A}{(X - 2)} + \frac{B}{(X - 2)^2} + \frac{C}{(X - 2)^3} + \frac{D}{(X - 1)} + \frac{E}{(X - 4)} $$

More Information

Le polynôme ( P(X) ) a une racine de multiplicité 3 en ( X = 2 ). On a utilisé la dérivation pour déterminer l'ordre de multiplicité. La factorisation comporte des racines simples et la décomposition en éléments simples nécessite de résoudre pour les coefficients appropriés.

Tips

  • Ne pas substituer correctement dans le polynôme pour vérifier si 2 est une racine.
  • Oublier de vérifier les dérivées successives pour l'ordre de multiplicité.
  • Erreurs lors de la factorisation de polynômes quadratiques.

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