Один моль идеального одноатомного газа, находящегося при температуре 300 К, изохорно охлаждается так, что его давление падает в 3 раза. Определить количество отданной газом теплоты... Один моль идеального одноатомного газа, находящегося при температуре 300 К, изохорно охлаждается так, что его давление падает в 3 раза. Определить количество отданной газом теплоты.

Understand the Problem

Вопрос просит определить количество теплоты, отданной одним молем идеального одноатомного газа при изохорном охлаждении, когда давление газа уменьшается в 3 раза. Это задача по термодинамике, где нужно использовать законы идеального газа и уравнение для теплоты в изохорном процессе.

Answer

$RT_1$

Steps to Solve

Запишем уравнение теплоты для изохорного процесса

В изохорном процессе (постоянный объем) вся отданная теплота идет на изменение внутренней энергии газа. Уравнение для теплоты $Q$ в изохорном процессе:

$$Q = n C_V \Delta T$$

где: $n$ - количество молей газа, $C_V$ - молярная теплоемкость при постоянном объеме, $\Delta T$ - изменение температуры.

Определим молярную теплоемкость для одноатомного идеального газа

Для одноатомного идеального газа молярная теплоемкость при постоянном объеме равна:

$$C_V = \frac{3}{2}R$$

где $R$ - универсальная газовая постоянная (8.314 Дж/(моль·К)).

Используем закон идеального газа для определения изменения температуры

Закон идеального газа:

$$PV = nRT$$

Так как процесс изохорный ($V$ = const) и количество молей постоянно ($n$ = const), мы можем записать:

$$\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$$

где $P_1$ и $T_1$ - начальное давление и температура, а $P_2$ и $T_2$ - конечное давление и температура.

По условию задачи, давление уменьшилось в 3 раза, то есть $P_2 = \frac{P_1}{3}$. Поэтому:

$$\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_1/3}{T_2}$$

Отсюда находим $T_2$:

$$T_2 = \frac{T_1}{3}$$

Следовательно, изменение температуры $\Delta T$ равно:

$$\Delta T = T_2 - T_1 = \frac{T_1}{3} - T_1 = -\frac{2}{3}T_1$$

Подставим выражения в уравнение для теплоты

Теперь подставим найденные выражения для $C_V$ и $\Delta T$ в уравнение для теплоты $Q$:

$$Q = n C_V \Delta T = n \cdot \frac{3}{2}R \cdot (-\frac{2}{3}T_1) = -nRT_1$$

Так как у нас 1 моль газа ($n = 1$), то:

$$Q = -RT_1$$

Выразим $T_1$ через начальное давление $P_1$ и объем $V$

Из закона идеального газа $P_1V = nRT_1$, следовательно, $T_1 = \frac{P_1V}{nR}$. Подставим это в уравнение для $Q$:

$$Q = -R \cdot \frac{P_1V}{nR} = -\frac{P_1V}{n}$$

Так как $n = 1$:

$$Q = -P_1V$$

Упростим выражение, используя тот факт, что нас просят найти отданное тепло По условию задачи, спрашивается, какое количество теплоты отдано газом. Мы получили, что $Q = -RT_1$. Модуль этого значения и будет ответом:

$$|Q| = RT_1$$

Альтернативно, можем рассмотреть это так: $$Q = -P_1V$$

$$|Q| = P_1V$$

Однако, если нужно выразить ответ в числах, то можно представить, что газ отдал тепло $\Delta Q$ $$ \Delta Q = - \frac{3}{2} R \Delta T = - \frac{3}{2} R (T_2 - T_1) = - \frac{3}{2} R (\frac{T_1}{3} - T_1) = - \frac{3}{2} R (-\frac{2}{3} T_1) = RT_1$$

$$ \Delta Q = - \frac{3}{2} (P_2 V - P_1 V) = - \frac{3}{2} (\frac{1}{3} P_1 V - P_1 V) = - \frac{3}{2} (- \frac{2}{3} P_1 V) = P_1 V $$

$RT_1$ или $P_1V$

More Information

Выражения $RT_1$ и $P_1V$ эквивалентны, так как $P_1V = RT_1$ для одного моля идеального газа. Ответ показывает количество теплоты, отданной газом при охлаждении.

Tips

Неправильное определение знака изменения температуры: Важно помнить, что $\Delta T = T_2 - T_1$, и в данном случае температура уменьшается, поэтому $\Delta T$ отрицательно.
Неверное применение закона идеального газа: Необходимо корректно использовать соотношение между давлением и температурой при постоянном объеме.
Забывают, что спрашивают про отданное тепло: В конечном уравнении можно запутаться, когда выходит отрицательное значение для Q. В таких случаях нужно не забывать, что отданное тепло - положительное значение.
Потеря численного значения: Так как R - это универсальная газовая постоянная, а $T_1$ - начальная температура газа, можно забыть про то, что необходимо найти численное значение, подставив значения в уравнение.

AI-generated content may contain errors. Please verify critical information

Thank you for voting!