Løs likningene: a) 2sin3x = 1, x ∈ [0°, 120°]; b) tan(x + π/6) = √3, x ∈ ℝ; c) sin²x - sinx = 2, x ∈ ℝ.

Understand the Problem

Spørsmålet ber oss om å løse tre trigonometriske likninger som involverer sinus og tangens, og spesifisere verdiene for x innenfor gitte intervaller.

Answer

a) $x = 10°, 50°$; b) $x = 30°, 210° + n\cdot180°$; c) $x = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi$

Steps to Solve

Løsning av likning a) Først starter vi med likningen: $$ 2\sin(3x) = 1 $$ Del begge sider med 2: $$ \sin(3x) = \frac{1}{2} $$ Finn verdiene for $3x$ i intervaller. I området $[0°, 120°]$ er dette: $$ 3x = 30°, 150° $$ For å finne $x$, del på 3: $$ x = 10°, 50° $$
Løsning av likning b) For likningen: $$ \tan\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3} $$ Vi vet at $\tan(60°) = \sqrt{3}$, så: $$ x + \frac{\pi}{6} = 60° + n\cdot180° $$ Hvor $n$ er et heltall. Løs for $x$: $$ x = 60° - \frac{\pi}{6} + n\cdot180° $$ Dette gir to løsninger for $n=0$: $x = 60° - 30° = 30°$ og $n=1$: $x = 30° + 180° = 210°$.
Løsning av likning c) Første steg er å skrive om likningen: $$ \sin^2 x - \sin x - 2 = 0 $$ Dette kan faktoreres som: $$ (\sin x - 2)(\sin x + 1) = 0 $$ Setter opp hver faktor til 0:
$\sin x = 2$ (ingen løsning her, da sin er begrenset til [-1, 1])
$\sin x = -1$, som gir: $$ x = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi $$

a) $x = 10°, 50°$
b) $x = 30°, 210° + n\cdot180°$
c) $x = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi$

More Information

Svarene for a) er begrenset til intervallet $[0°, 120°]$. For b) får vi løsninger som er periodiske med 180°. For c) får vi en uendelig mengde løsninger basert på periodisiteten til sinus.

Tips

Å glemme å konvertere radianer til grader og motsatt når man arbeider i forskjellige enheter.
Ikke å inkludere alle mulige periodiske løsninger i tangens problemene.
Feil håndtering av likninger med sinus, spesielt når det gjelder ingen løsning for verdier utenfor intervallet [-1, 1].

AI-generated content may contain errors. Please verify critical information

Thank you for voting!