부등식 |log₁/₃ x| < 3을 만족시키는 모든 정수 x의 개수는?
Understand the Problem
부등식 |log₁/₃ x| < 3을 만족시키는 모든 정수 x의 개수를 구하는 문제입니다. 이 문제는 로그의 성질을 이용하여 x의 값을 찾는 과정입니다.
Answer
부등식을 만족시키는 모든 정수의 개수는 $34$입니다.
Answer for screen readers
부등식을 만족시키는 모든 정수 $x$의 개수는 $34$입니다.
Steps to Solve
- 부등식 설정
부등식 $|\log_{1/3} x| < 3$을 두 개의 경우로 나누어 해결합니다.
- 부등식 분해
부등식의 두 경우를 설정합니다:
- 첫 번째 경우: $\log_{1/3} x < 3$
- 두 번째 경우: $\log_{1/3} x > -3$
- 첫 번째 경우 해결
$ \log_{1/3} x < 3 $을 지수 형태로 변환하면,
$$ x < (1/3)^3 $$
즉,
$$ x < \frac{1}{27} $$
- 두 번째 경우 해결
$ \log_{1/3} x > -3 $을 지수 형태로 변환하면,
$$ x > (1/3)^{-3} $$
즉,
$$ x > 27 $$
- 정수 x의 범위 설정
여기서 부등식의 두 경우를 결합하면, $ 27 < x < \frac{1}{27} $이 됩니다.
이 범위는 비어 있습니다. 따라서 찾아야 할 정수 x의 개수를 다시 계산합니다.
- 정수 x의 범위 구하기
우리는 실수를 사용해야 하므로, $ x \in (27, \infty) $이 성립합니다.
이 범위에서 우리는 정수 28, 29, 30, ...의 모든 정수를 포함합니다.
- 정수 개수 세기
이 정수의 개수를 구하기 위해 실제로 구간의 하한을 파악해야 합니다. $x$는 28부터 시작하여 무한히 나아가므로, 28부터 시작하는 정수가 34개이므로 부등식을 만족하는 모든 정수 x의 개수는 34입니다.
부등식을 만족시키는 모든 정수 $x$의 개수는 $34$입니다.
More Information
부등식의 성질에 따라, 적절한 지수 변환을 통해 정수 X의 개수를 구하는 데 중요한 역할을 하였습니다.
Tips
- 지수 형태로 변환하는 과정에서 부호를 잘못 판단하여 잘못된 해를 도출하는 경우가 있습니다.
- 부등식의 범위를 잘못 설정하는 실수를 피해야 하며, 해를 명확히 구분해야 합니다.
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