کدام یک از روابط زیر درست است؟

Steps to Solve

1. تعریف نمادها

   ابتدا نمادها را تعریف می‌کنیم:

   • $\bar{X}$: میانگین نمونه
   • $\mu_X$: میانگین جمعیت (میانگین واقعی)
   • $E(X)$: انتظاری که برای متغیر تصادفی $X$ تعریف شده است
   • $E(\bar{X})$: انتظاری که برای میانگین نمونه تعریف شده است

2. بررسی روابط پیشنهادی

   حال باید هر یک از روابط ارائه شده را بررسی کنیم:

   • روابط اول: $\bar{X} = \mu_X$ این رابطه درست نیست زیرا $\bar{X}$ میانگینی از یک نمونه است و می‌تواند به $\mu_X$ نزدیک باشد اما به طور تصادفی ممکن است برابر نباشد.

   • روابط دوم: $E(\bar{X}) = \mu_X$ این رابطه درست است و بیان می‌کند که انتظاری که برای میانگین نمونه داریم برابر با میانگین جمعیت است.

   • روابط سوم: $\mu_X = \bar{X}$ این رابطه نیز درست نیست به همان دلیلی که توضیح داده شد.

   • روابط چهارم: $E(X) = \bar{X}$ این رابطه اشتباه است زیرا انتظاری که برای متغیر تصادفی داریم به هیچ وجه با میانگین نمونه برابر نیست.

3. جمع‌بندی نتایج

   بر اساس بررسی‌های انجام شده: تنها رابطه‌ای که درست است، رابطه دوم ($E(\bar{X}) = \mu_X$) می‌باشد.