设k>0,n趋向于无穷大时，\( \sqrt[3]{n^3+n} - \sqrt{n^2+n} \) 是 \( \frac{C}{k} \) 的极限，确定常数 C.

Steps to Solve

1. 分析极限表达式 我们需要计算以下极限： $$ \lim_{n \to \infty} \left( \sqrt[3]{n^3+n} - \sqrt{n^2+n} \right) $$

2. 简化 $\sqrt[3]{n^3+n}$ 部分 由于当 $n$ 趋近于无穷大时，$n$ 是主要项，因此可以提取 $n^3$： $$ \sqrt[3]{n^3+n} = \sqrt[3]{n^3(1+\frac{1}{n^2})} = n \sqrt[3]{1+\frac{1}{n^2}} $$ 当 $n \to \infty$ 时，$\sqrt[3]{1+\frac{1}{n^2}} \to 1$，因此： $$ \sqrt[3]{n^3+n} \approx n $$

3. 简化 $\sqrt{n^2+n}$ 部分 同样地，从 $n^2$ 提取 $n^2$： $$ \sqrt{n^2+n} = \sqrt{n^2(1+\frac{1}{n})} = n \sqrt{1+\frac{1}{n}} $$ 当 $n \to \infty$ 时，$\sqrt{1+\frac{1}{n}} \to 1$，因此： $$ \sqrt{n^2+n} \approx n $$

4. 计算极限差异 通过将两个表达式相减，我们有： $$ \sqrt[3]{n^3+n} - \sqrt{n^2+n} \approx n - n = 0 $$ 但实际上，我们要计算两者的更精确差异： $$ \sqrt[3]{n^3+n} - \sqrt{n^2+n} = n \left( \sqrt[3]{1+\frac{1}{n^2}} - \sqrt{1+\frac{1}{n}} \right) $$

5. 计算细微差异 使用泰勒展开或一阶近似：

• 对于 $\sqrt[3]{1+\frac{1}{n^2}} \approx 1 + \frac{1}{3n^2}$
• 对于 $\sqrt{1+\frac{1}{n}} \approx 1 + \frac{1}{2n}$ 因此： $$ \sqrt[3]{1+\frac{1}{n^2}} - \sqrt{1+\frac{1}{n}} \approx \left(1 + \frac{1}{3n^2}\right) - \left(1 + \frac{1}{2n}\right) $$ 进一步简化为： $$ \approx \frac{1}{3n^2} - \frac{1}{2n} = \frac{1}{n^2} \left( \frac{2}{6} - \frac{3}{6} n \right) $$

6. 极限值计算 因此，最终的极限表达式为： $$ \lim_{n \to \infty} n \cdot \left( \sqrt[3]{1+\frac{1}{n^2}} - \sqrt{1+\frac{1}{n}} \right) \approx -\frac{1}{6n} \to 0 $$ 但是实际上，我们选择常数 C 的时候换个方式：

7. 重新计算以得到常数 C 根据之前的推导，最终得到： $$ \lim_{n \to \infty} \left( \sqrt[3]{n^3+n} - \sqrt{n^2+n} \right) = \frac{C}{k} $$ 因此常数 C 等于最终得到的形式中所出现的系数。