Gegeben sei ein euklidisches Dreieck (A, B, C) mit γ := <(A, C, B) und c die C gegenüberliegende Seite des Dreiecks. Kreuzen Sie die wahren Aussagen an: Gilt γ = π/2, so liegt der... Gegeben sei ein euklidisches Dreieck (A, B, C) mit γ := <(A, C, B) und c die C gegenüberliegende Seite des Dreiecks. Kreuzen Sie die wahren Aussagen an: Gilt γ = π/2, so liegt der Mittelpunkt des Umkreises auf der Seite c. Liegt der Mittelpunkt des Umkreises auf einer Seite des Dreiecks, so liegt der gegenüberliegende Eckpunkt auf dem Umkreis. Liegt der Mittelpunkt des Umkreises auf einer Seite, so handelt es sich um ein gleichschenkliges Dreieck. Keine der Antworten ist wahr.
Understand the Problem
Die Frage bezieht sich auf ein euklidisches Dreieck (A, B, C) mit einem Winkel γ am Punkt C und der Seite c, die C gegenüberliegt. Das Ziel ist es, die wahren Aussagen über die Eigenschaften dieses Dreiecks zu identifizieren, insbesondere in Bezug auf den Umkreis und seine Beziehung zu den Seiten und Winkeln des Dreiecks.
Answer
The first two statements are true.
Answer for screen readers
Die ersten beiden Aussagen sind wahr.
Steps to Solve
- Analyze statement 1: If $\gamma = \frac{\pi}{2}$, the circumcenter lies on side c.
If $\gamma = \frac{\pi}{2}$, the triangle is a right-angled triangle with the right angle at vertex C. In a right-angled triangle, the circumcenter (Mittelpunkt des Umkreises) is located at the midpoint of the hypotenuse, which is side c. Therefore, this statement is true.
- Analyze statement 2: If the circumcenter lies on a side of the triangle, the opposite vertex lies on the circumcircle.
If the circumcenter lies on a side, that side must be the hypotenuse (as seen in the previous step). Therefore, the vertex opposite to that side must have an angle of $\frac{\pi}{2}$. Since all vertices of a triangle lie on the circumcircle by definition, the vertex opposite the side on which circumcenter lies, also lies on the circumcircle. This statement is also true.
- Analyze statement 3: If the circumcenter lies on a side, the triangle is isosceles.
If the circumcenter lies on a side, the triangle is right-angled. A right-angled triangle is not necessarily isosceles. For example, a right triangle with sides 3, 4, and 5 is not isosceles. Therefore, this statement is false.
Die ersten beiden Aussagen sind wahr.
More Information
The circumcenter of a triangle has a specific location depending on the type of triangle. For acute triangles, it lies inside the triangle; for obtuse triangles, it lies outside the triangle; and for right triangles, it lies on the hypotenuse.
Tips
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