Gegeben ist der Graph der Funktion f(x) = -1/3x³ + 2x² - 3x. a) Begründe anhand des Graphen, dass f'(x) < 0 für x > 3 gilt. b) Bestimme rechnerisch die Koordinaten der Extrempunkte... Gegeben ist der Graph der Funktion f(x) = -1/3x³ + 2x² - 3x. a) Begründe anhand des Graphen, dass f'(x) < 0 für x > 3 gilt. b) Bestimme rechnerisch die Koordinaten der Extrempunkte des Graphen. c) Untersuche rechnerisch das Krümmungsverhalten des Graphen von f.
Understand the Problem
Die Frage bezieht sich auf eine Funktion f(x) = -1/3x³ + 2x² - 3x, deren Graph gegeben ist. Es werden drei Aufgaben gestellt: a) Begründe anhand des Graphen, dass die Ableitung f'(x) für x > 3 negativ ist. b) Bestimme rechnerisch die Koordinaten der Extrempunkte des Graphen. c) Untersuche rechnerisch das Krümmungsverhalten des Graphen von f.
Answer
a) Für $x > 3$ fällt der Graph von $f(x)$, daher ist $f'(x) < 0$. b) Die Extrempunkte sind $(1, -\frac{4}{3})$ und $(3, 0)$. c) Der Wendepunkt ist $(2, -\frac{2}{3})$. Für $x < 2$ ist der Graph konvex, und für $x > 2$ ist er konkav.
Answer for screen readers
a) Für $x > 3$ fällt der Graph von $f(x)$, daher ist $f'(x) < 0$. b) Die Extrempunkte sind $(1, -\frac{4}{3})$ und $(3, 0)$. c) Der Wendepunkt ist $(2, -\frac{2}{3})$. Für $x < 2$ ist der Graph konvex, und für $x > 2$ ist er konkav.
Steps to Solve
- Begründe anhand des Graphen, dass $f'(x) < 0$ für $x > 3$ gilt
Die Ableitung $f'(x)$ entspricht der Steigung des Graphen von $f(x)$ an der Stelle $x$. Wenn der Graph für $x > 3$ fällt, bedeutet dies, dass die Steigung negativ ist. Da der Graph von $f(x)$ für $x > 3$ fällt, ist $f'(x) < 0$ für $x > 3$.
- Bestimme die Koordinaten der Extrempunkte des Graphen
Zuerst müssen wir die erste Ableitung von $f(x)$ bilden: $$f(x) = -\frac{1}{3}x^3 + 2x^2 - 3x$$ $$f'(x) = -x^2 + 4x - 3$$ Um die Extrempunkte zu finden, setzen wir die erste Ableitung gleich Null und lösen nach $x$: $$-x^2 + 4x - 3 = 0$$ $$x^2 - 4x + 3 = 0$$ $$(x - 1)(x - 3) = 0$$ Die Lösungen sind $x_1 = 1$ und $x_2 = 3$. Nun müssen wir die $y$-Koordinaten der Extrempunkte finden, indem wir $x_1$ und $x_2$ in die ursprüngliche Funktion $f(x)$ einsetzen: $$f(1) = -\frac{1}{3}(1)^3 + 2(1)^2 - 3(1) = -\frac{1}{3} + 2 - 3 = -\frac{1}{3} - 1 = -\frac{4}{3}$$ $$f(3) = -\frac{1}{3}(3)^3 + 2(3)^2 - 3(3) = -\frac{1}{3}(27) + 2(9) - 9 = -9 + 18 - 9 = 0$$ Die Koordinaten der Extrempunkte sind also $(1, -\frac{4}{3})$ und $(3, 0)$.
- Untersuche rechnerisch das Krümmungsverhalten des Graphen von f
Um das Krümmungsverhalten zu untersuchen, benötigen wir die zweite Ableitung von $f(x)$: $$f'(x) = -x^2 + 4x - 3$$ $$f''(x) = -2x + 4$$ Um die Wendepunkte zu finden, setzen wir die zweite Ableitung gleich Null und lösen nach $x$: $$-2x + 4 = 0$$ $$2x = 4$$ $$x = 2$$ Nun untersuchen wir die zweite Ableitung auf Intervalle um $x = 2$ herum: Für $x < 2$, z.B. $x = 0$: $f''(0) = -2(0) + 4 = 4 > 0$, also ist der Graph konvex (Linkskurve). Für $x > 2$, z.B. $x = 3$: $f''(3) = -2(3) + 4 = -6 + 4 = -2 < 0$, also ist der Graph konkav (Rechtskurve). Der Wendepunkt liegt bei $x = 2$. Um die $y$-Koordinate zu finden, setzen wir $x = 2$ in die ursprüngliche Funktion $f(x)$ ein: $$f(2) = -\frac{1}{3}(2)^3 + 2(2)^2 - 3(2) = -\frac{8}{3} + 8 - 6 = -\frac{8}{3} + 2 = -\frac{8}{3} + \frac{6}{3} = -\frac{2}{3}$$ Der Wendepunkt ist also $(2, -\frac{2}{3})$.
a) Für $x > 3$ fällt der Graph von $f(x)$, daher ist $f'(x) < 0$. b) Die Extrempunkte sind $(1, -\frac{4}{3})$ und $(3, 0)$. c) Der Wendepunkt ist $(2, -\frac{2}{3})$. Für $x < 2$ ist der Graph konvex, und für $x > 2$ ist er konkav.
More Information
Extrempunkte sind Punkte, an denen die Steigung der Funktion Null ist, also wo die erste Ableitung Null ist. Wendepunkte sind Punkte, an denen sich die Krümmung der Funktion ändert, also wo die zweite Ableitung Null ist.
Tips
Null.
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