Funktionen y = N(t) används som modell för hur smittan sprids i ett område vid en pandemi. N(1) = 75 och N(2) = 90. Bestäm värdet på N(3) om a) y är en linjär funktion b) y är en e... Funktionen y = N(t) används som modell för hur smittan sprids i ett område vid en pandemi. N(1) = 75 och N(2) = 90. Bestäm värdet på N(3) om a) y är en linjär funktion b) y är en exponentiell funktion.
Understand the Problem
Frågan handlar om att bestämma värdet av N(3) för en funktion N(t) som beskriver antalet smittade personer efter t veckor, baserat på givna värden N(1) och N(2). Den ber om lösningar för både en linjär och en exponentiell funktion.
Answer
a) $N(3) = 105$ b) $N(3) \approx 108.0$
Answer for screen readers
a) För den linjära funktionen är $N(3) = 105$.
b) För den exponentiella funktionen är $N(3) \approx 108.0$.
Steps to Solve
- Bestämma en linjär funktion
För att hitta en linjär funktion, använder vi punkterna $(1, 75)$ och $(2, 90)$. Vi kan uttrycka en linjär funktion som:
$$ N(t) = mt + b $$
Först måste vi beräkna lutningen $m$:
$$ m = \frac{N(2) - N(1)}{2 - 1} = \frac{90 - 75}{2 - 1} = \frac{15}{1} = 15 $$
Nu kan vi använda den lutningen för att uttrycka $b$ genom att sätta in en av punkterna, till exempel $(1, 75)$:
$$ 75 = 15 \cdot 1 + b $$
Detta ger oss:
$$ b = 75 - 15 = 60 $$
Så den linjära funktionen är:
$$ N(t) = 15t + 60 $$
Nu kan vi beräkna $N(3)$:
$$ N(3) = 15 \cdot 3 + 60 = 45 + 60 = 105 $$
- Bestämma en exponentiell funktion
För den exponentiella funktionen använder vi också punkterna $(1, 75)$ och $(2, 90)$. En exponentiell funktion kan skrivas som:
$$ N(t) = N_0 \cdot r^t $$
Där $N_0$ är startvärdet och $r$ är tillväxtfaktorn. Vi vet:
$$ N(1) = N_0 \cdot r = 75 $$
$$ N(2) = N_0 \cdot r^2 = 90 $$
Genom att lösa för $r$ kan vi använda dessa ekvationer. Genom att dela den andra ekvationen med den första:
$$ \frac{N_0 \cdot r^2}{N_0 \cdot r} = \frac{90}{75} $$
Detta förenklas till:
$$ r = \frac{90}{75} = 1.2 $$
För att hitta $N_0$, sätt in $r$ i den första ekvationen:
$$ 75 = N_0 \cdot 1.2 $$
Därmed får vi:
$$ N_0 = \frac{75}{1.2} = 62.5 $$
Så den exponentiella funktionen blir:
$$ N(t) = 62.5 \cdot (1.2)^t $$
Vi kan nu beräkna $N(3)$:
$$ N(3) = 62.5 \cdot (1.2)^3 = 62.5 \cdot 1.728 = 108.0 $$
a) För den linjära funktionen är $N(3) = 105$.
b) För den exponentiella funktionen är $N(3) \approx 108.0$.
More Information
Den linjära funktionens tillväxt är konstant över tid, medan den exponentiella funktionen växer snabbare eftersom den ökar i takt med värdet av $N(t)$.
Tips
- Att glömma att addera konstanten $b$ för den linjära funktionen.
- Att inte använda rätt exponent när man beräknar den exponentiella funktionen.
AI-generated content may contain errors. Please verify critical information
