Encontre a integral que calcula o volume do sólido de revolução obtido ao girar a região delimitada pelas curvas y = x³ + 2, y = x + 8 e y = -x/2 + 2 em torno do eixo y = 1 usando... Encontre a integral que calcula o volume do sólido de revolução obtido ao girar a região delimitada pelas curvas y = x³ + 2, y = x + 8 e y = -x/2 + 2 em torno do eixo y = 1 usando o Método dos Discos.
Understand the Problem
A pergunta está pedindo para encontrar uma integral que calcula o volume do sólido de revolução formado ao girar a região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo y utilizando o Método dos Discos.
Answer
A integral para calcular o volume é: $$ V = \pi \int_{-4}^{0} \left[ (-\frac{x}{2} + 1)^2 - (x + 7)^2 \right] dx $$
Answer for screen readers
A integral que calcula o volume é:
$$ V = \pi \int_{-4}^{0} \left[ (-\frac{x}{2} + 1)^2 - (x + 7)^2 \right] dx $$
Steps to Solve
- Identificação das Curvas e Interseções
Primeiramente, vamos encontrar os pontos de interseção das curvas dadas. Para isso, definimos os pares de funções e resolvemos as equações.
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Para $y = x^3 + 2$ e $y = x + 8$: $$ x^3 + 2 = x + 8 $$ $$ x^3 - x - 6 = 0 $$
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Para $y = x + 8$ e $y = -\frac{x}{2} + 2$: $$ x + 8 = -\frac{x}{2} + 2 $$ $$ \frac{3x}{2} = -6 $$ $$ x = -4 $$
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Para $y = x^3 + 2$ e $y = -\frac{x}{2} + 2$: $$ x^3 + 2 = -\frac{x}{2} + 2 $$ $$ x^3 + \frac{x}{2} = 0 $$ $$ x(x^2 + \frac{1}{2}) = 0 $$ Assim, obtemos $x = 0$ como uma das interseções.
As interseções válidas que precisamos considerar vão de $x = -4$ até o ponto crítico em $x = 0$, onde os valores de $y$ se cruzam.
- Encontrar as Funções para o Método dos Discos
Identificamos as funções que irão formar as bordas do sólido de revolução. A região entre $x = -4$ e $x = 0$ é delimitada por $y = -\frac{x}{2} + 2$ e $y = x + 8$. Precisaremos subtrair a área da curva inferior da curva superior para determinar os raios dos discos.
Assim, temos:
- Superior: $y = -\frac{x}{2} + 2$
- Inferior: $y = x + 8$
- Cálculo do Volume Usando o Método dos Discos
A fórmula do volume usando o Método dos Discos em torno da linha $y = 1$ é dada por: $$ V = \pi \int_{-4}^{0} \left[ (R_{\text{superior}} - 1)^2 - (R_{\text{inferior}} - 1)^2 \right] dx $$
Substituindo as funções: $$ V = \pi \int_{-4}^{0} \left[ \left(-\frac{x}{2} + 2 - 1\right)^2 - (x + 8 - 1)^2 \right] dx $$
- Simplificação da Integral
Agora, simplificamos:
- Para a curva superior: $$ R_{\text{superior}} = -\frac{x}{2} + 1 $$
- Para a curva inferior: $$ R_{\text{inferior}} = x + 7 $$
Substituindo na equação do volume: $$ V = \pi \int_{-4}^{0} \left[ (-\frac{x}{2} + 1)^2 - (x + 7)^2 \right] dx $$
- Cálculo da Integral
Por fim, você deve calcular a integral resultante para encontrar o volume do sólido de revolução.
A integral que calcula o volume é:
$$ V = \pi \int_{-4}^{0} \left[ (-\frac{x}{2} + 1)^2 - (x + 7)^2 \right] dx $$
More Information
Essa integral representa o volume de uma região sólida gerada ao girar uma área definida por certas curvas em torno de uma linha horizontal. O Método dos Discos é uma abordagem comum para tais problemas e utiliza a ideia de somar volumes infinitesimais de discos para obter o volume total.
Tips
- Erro na Identificação das Curvas: Verifique se as funções correspondem corretamente às interseções e se a ordem (superior e inferior) está correta.
- Simplificação Errada da Integral: Ao passar para a integral, assegure-se de expandir corretamente os quadrados das funções antes de integrar.
- Limites de Integração: Atenção especial também com os limites de integração, que devem ser definidos corretamente a partir das interseções.
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