Eğer f, [0,2] aralığında Ortalama Değer Teoremi’nin hipotezlerini sağlıyorsa, f(0) = 0 ve her x ∈ [0,2] için |f'(x)| ≤ 1/6 ise, en azından bir x ∈ [0,2] için aşağıdaki eşitsizlikle... Eğer f, [0,2] aralığında Ortalama Değer Teoremi’nin hipotezlerini sağlıyorsa, f(0) = 0 ve her x ∈ [0,2] için |f'(x)| ≤ 1/6 ise, en azından bir x ∈ [0,2] için aşağıdaki eşitsizliklerden hangisi daima doğrudur? Read more

Steps to Solve

1. Ortalama Değer Teoremi'ni Anlamak

Ortalama Değer Teoremi, sürekli ve türevlenebilir bir fonksiyonun, belirli bir aralıkta en az bir noktada türev değerinin, aralığın uç noktalarındaki değerler arasındaki eğimi eşitlediğini belirtir.

2. Fonksiyonun Genel Özelliklerini Belirleme

Verilen koşullar şunlardır:

• $f(0) = 0$
• her $x \in [0, 2]$ için $|f'(x)| \leq \frac{1}{6}$

Türevinin her noktada bu sınırlamada olması, fonksiyonun değişim hızını sınırlı kılar.

3. Fonksiyon için Eşitsizlikleri Değerlendirme

Her bir seçenek için $f(x)$ değerlerini en kötü durumda analiz edeceğiz.

4. En Yüksek Fonksiyon Değerini Hesaplama

Eğer $|f'(x)| \leq \frac{1}{6}$ ise, $f(x)$'in değişim miktarını hesaplayabiliriz:

$$ |f(x) - f(0)| \leq |f'(c)||x - 0| \leq \frac{1}{6}|x| $$

Bu formülden çıkarak:

$$ f(x) \leq \frac{1}{6}x $$

5. Sonuçları Değerlendirme

Bu durumda, $x=2$ için:

$$ f(2) \leq \frac{1}{6} \cdot 2 = \frac{1}{3} $$

Bu, $|f(x)| \leq \frac{1}{3}$ ifadesini doğrular.

6. Seçeneklerin Analizi

Her seçeneği yukarıda elde ettiğimiz değerlerle karşılaştırarak hangi eşitsizliğin daima doğru olduğunu belirliyoruz.