Due cerchi C1 e C2 sono tali che l'area di C1 è nove volte l'area di C2. Determina il raggio di C1, sapendo che è 12 cm in più del raggio di C2.

Steps to Solve

1. Identifica le variabili Definiamo il raggio di $C_2$ come $r_2$ e il raggio di $C_1$ come $r_1$.

2. Scrivi la relazione tra le aree L'area di un cerchio è data dalla formula $A = \pi r^2$. Possiamo scrivere la relazione tra le aree di $C_1$ e $C_2$ come: $$ A_1 = 9 A_2 $$ $$ \pi r_1^2 = 9 \pi r_2^2 $$

3. Semplifica l'equazione Poiché $\pi$ è un fattore comune, possiamo semplificare l'equazione: $$ r_1^2 = 9 r_2^2 $$

4. Relazione tra i raggi Dato che $r_1$ è maggiore di $r_2$ di 12 cm, possiamo scrivere: $$ r_1 = r_2 + 12 $$

5. Sostituisci $r_1$ nella relazione delle aree Sostituendo l'espressione per $r_1$ nell'equazione delle aree: $$(r_2 + 12)^2 = 9 r_2^2 $$

6. Sviluppa e semplifica l'equazione Espandendo il quadrato e semplificando otteniamo: $$ r_2^2 + 24r_2 + 144 = 9r_2^2 $$

7. Riorganizza l'equazione Portiamo tutto su un lato: $$ 0 = 8r_2^2 - 24r_2 - 144 $$

8. Dividi per 8 Dividiamo ogni termine per 8 per semplificare: $$ 0 = r_2^2 - 3r_2 - 18 $$

9. Risolvi l'equazione quadratica Usiamo la formula quadratica: $$ r_2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$ dove $a = 1$, $b = -3$, $c = -18$.

10. Calcola il discriminante $$ b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(-18) = 9 + 72 = 81 $$

11. Trova $r_2$ Sostituendo il discriminante nella formula: $$ r_2 = \frac{3 \pm 9}{2} $$ Le soluzioni sono: $$ r_2 = 6 \quad \text{oppure} \quad r_2 = -3 $$ Poiché il raggio non può essere negativo, prendiamo $r_2 = 6$ cm.

12. Trova $r_1$ Ora calcoliamo $r_1$: $$ r_1 = r_2 + 12 = 6 + 12 = 18 \text{ cm} $$