Die Anzahl der erwarteten Besucher eines Schulfests soll für die Zeit von 7:30 Uhr bis 16:30 Uhr durch die Funktion f mit f(t) = -t³ + 24t² - 117t + 182 beschrieben werden (t in St... Die Anzahl der erwarteten Besucher eines Schulfests soll für die Zeit von 7:30 Uhr bis 16:30 Uhr durch die Funktion f mit f(t) = -t³ + 24t² - 117t + 182 beschrieben werden (t in Stunden; 7,5 ≤ t ≤ 16,5). a) Berechnen Sie die für 11 Uhr erwartete Anzahl der Besucher. b) Ermitteln Sie den Zeitpunkt, zu dem die meisten bzw. die wenigsten Besucher auf dem Schulfest erwartet werden. c) Bestimmen Sie, wann die erwartete Besucherzahl am stärksten zunimmt. Read more

Steps to Solve

1. Berechne die Besucherzahl für 11 Uhr (a)

Da $t$ in Stunden angegeben ist, müssen wir $t = 11$ in die Funktion $f(t)$ einsetzen:

$f(11) = -(11)^3 + 24(11)^2 - 117(11) + 182 $ $f(11) = -1331 + 24(121) - 1287 + 182$ $f(11) = -1331 + 2904 - 1287 + 182$ $f(11) = 4904 - 2618 $ $f(11) = 398$

2. Finde die Extremwerte (b)

Um die Maximal- und Minimalwerte zu finden, müssen wir die erste Ableitung von $f(t)$ bilden und gleich Null setzen: $f'(t) = -3t^2 + 48t - 117$

Setze $f'(t) = 0$: $-3t^2 + 48t - 117 = 0$ Teile durch $-3$: $t^2 - 16t + 39 = 0$

Verwende die quadratische Formel: $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ $t = \frac{16 \pm \sqrt{(-16)^2 - 4(1)(39)}}{2(1)}$ $t = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 156}}{2}$ $t = \frac{16 \pm \sqrt{100}}{2}$ $t = \frac{16 \pm 10}{2}$

Also, $t_1 = \frac{16 + 10}{2} = \frac{26}{2} = 13$ und $t_2 = \frac{16 - 10}{2} = \frac{6}{2} = 3$. Da $3$ nicht im Definitionsbereich [7.5, 16.5] liegt, betrachten wir nur $t = 13$.

Jetzt müssen wir die Randwerte unseres Definitionsbereichs betrachten, um die echten minimalen/maximalen Werte zu identifizieren: $t = 7.5$ und $t = 16.5$. Berechne $f(7.5)$, $f(13)$ und $f(16.5)$.

$f(7.5) = -(7.5)^3 + 24(7.5)^2 - 117(7.5) + 182 = -421.875 + 1350 - 877.5 + 182 = 232.625$ $f(13) = -(13)^3 + 24(13)^2 - 117(13) + 182 = -2197 + 4056 - 1521 + 182 = 520$ $f(16.5) = -(16.5)^3 + 24(16.5)^2 - 117(16.5) + 182 = -4492.125 + 6534 - 1930.5 + 182 = 293.375$

Daher ist der maximale Wert bei $t = 13$, und der minimale Wert bei $t = 7.5$.

3. Bestimme den Zeitpunkt der stärksten Zunahme (c)

Um den Zeitpunkt der stärksten Zunahme zu finden, müssen wir den Wendepunkt der ursprünglichen Funktion finden. Dies geschieht, indem man die zweite Ableitung von $f(t)$ gleich Null setzt.

Berechne die zweite Ableitung: $f''(t) = -6t + 48$

Setze $f''(t) = 0$: $-6t + 48 = 0$ $6t = 48$ $t = 8$