Die Abbildung zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion f' einer Funktion f. a) Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr sind. Begründen Sie. (1) Die Funktion f ist im Interv... Die Abbildung zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion f' einer Funktion f. a) Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr sind. Begründen Sie. (1) Die Funktion f ist im Intervall ]-1; 1[ streng monoton zunehmend. (2) Der Graph der Funktion f hat an der Stelle x = 1 einen Tiefpunkt. b) Skizzieren Sie einen möglichen Graphen der Funktion f.
Understand the Problem
Die Frage bezieht sich auf die Analyse des Graphen einer Ableitungsfunktion f' einer Funktion f. Es soll entschieden werden, ob gegebene Aussagen über die Funktion f basierend auf dem Graphen von f' wahr sind, und diese Entscheidungen sind zu begründen. Außerdem soll ein möglicher Graph von f skizziert werden.
Answer
a) (1) Wahr, da $f'(x)>0$ für $x \in ]-1, 1[$. (2) Wahr, da $f'(1)=0$ und Vorzeichenwechsel von $f'$ bei $x=1$ von negativ zu positiv. b) Skizze eines Graphen mit Minima bei $x=-1$ und $x=1$.
Answer for screen readers
a) (1) Die Aussage ist wahr. Die Funktion $f$ ist im Intervall $]-1; 1[$ streng monoton zunehmend, da $f'(x) > 0$ für alle $x \in ]-1; 1[$. (2) Die Aussage ist wahr. Der Graph der Funktion $f$ hat an der Stelle $x = 1$ einen Tiefpunkt, da $f'(1) = 0$ und $f'(x)$ wechselt an der Stelle $x = 1$ das Vorzeichen von negativ zu positiv.
b) Ein möglicher Graph der Funktion $f$: (Eine Skizze mit Minima bei $x=-1$ und $x=1$ und zunehmendem Verlauf dazwischen und danach).
Steps to Solve
- Analyze statement (1): Monotonicity of $f$ in the interval $]-1, 1[$
A function $f$ is strictly monotonically increasing in an interval if its derivative $f'$ is positive in that interval. We need to check if $f'(x) > 0$ for all $x \in ]-1, 1[$. Looking at the graph, we see that $f'(x)$ is positive for $x \in ]-1, 1[$
- Analyze statement (2): Local minimum of $f$ at $x = 1$
For $f$ to have a local minimum at $x=1$, $f'(x)$ must change its sign from negative to positive at $x=1$. That is, $f'(x)<0$ for $x<1$ and close to 1, and $f'(x)>0$ for $x>1$ and close to 1. From the provided graph, $f'(x)$ is zero at $x=1$, so $f(x)$ has a horizontal tangent at $x=1$. From the left of this point, i.e. when $x<1$, $f'(x)$ is negative, so $f$ is decreasing. For $x>1$, $f'(x)$ is positive, so $f$ is increasing. Therefore the sign change from negative to positive implies there is in fact a minimum at $x=1$.
- Sketch a possible graph of $f$
Based on the analysis of $f'$, we know the following about $f$:
- $f'(x) < 0$ for $x < -1$, so $f$ is decreasing
- $f'(-1) = 0$, so $f$ has a horizontal tangent at $x = -1$
- $f'(x) > 0$ for $-1 < x < 1$, so $f$ is increasing
- $f'(1) = 0$, so $f$ has a horizontal tangent at $x = 1$
- $f'(x) > 0$ for $x > 1$, so $f$ is increasing
This indicates that $f$ has a local minimum at $x=-1$ and a local minimum at $x=1$. It increases between $x = -1$ and $x = 1$.
a) (1) Die Aussage ist wahr. Die Funktion $f$ ist im Intervall $]-1; 1[$ streng monoton zunehmend, da $f'(x) > 0$ für alle $x \in ]-1; 1[$. (2) Die Aussage ist wahr. Der Graph der Funktion $f$ hat an der Stelle $x = 1$ einen Tiefpunkt, da $f'(1) = 0$ und $f'(x)$ wechselt an der Stelle $x = 1$ das Vorzeichen von negativ zu positiv.
b) Ein möglicher Graph der Funktion $f$: (Eine Skizze mit Minima bei $x=-1$ und $x=1$ und zunehmendem Verlauf dazwischen und danach).
More Information
The sign of the derivative $f'$ tells us whether the function $f$ is increasing or decreasing. The points where $f'=0$ are critical points which can be minima, maxima, or inflection points.
Tips
- Confusing the graph of $f'$ with the graph of $f$.
- Incorrectly interpreting the sign of $f'$ as the sign of $f$.
- Assuming that $f'(x) = 0$ always implies a local extremum. Consider saddle points. You must confirm if there is an extremum.
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