Déterminer les points stationnaires des fonctions suivantes et étudier leur nature (point selle, etc.) : a) f(x,y) = 6y - y² b) g(x,y) = x² - 2x - 4y c) h(x,y) = x⁴ + 2x + 4y² + 1 Déterminer les points stationnaires des fonctions suivantes et étudier leur nature (point selle, etc.) : a) f(x,y) = 6y - y² b) g(x,y) = x² - 2x - 4y c) h(x,y) = x⁴ + 2x + 4y² + 1 Read more

Steps to Solve

1. Trouver les dérivées partielles

Pour chaque fonction, nous allons d'abord calculer les dérivées partielles par rapport à $x$ et $y$.

Pour $f(x,y) = 6y - y^2$ :

• $\frac{\partial f}{\partial x} = 0$
• $\frac{\partial f}{\partial y} = 6 - 2y$

Pour $g(x,y) = x^2 - 2x - 4y$ :

• $\frac{\partial g}{\partial x} = 2x - 2$
• $\frac{\partial g}{\partial y} = -4$

Pour $h(x,y) = x^4 + 2x + 4y^2 + 1$ :

• $\frac{\partial h}{\partial x} = 4x^3 + 2$
• $\frac{\partial h}{\partial y} = 8y$

2. Équilibrer les dérivées à zéro

Ensuite, nous égalons les dérivées partielles à zéro pour trouver les points stationnaires.

Pour $f(x,y)$ :

• $6 - 2y = 0 \Rightarrow y = 3$

Pour $g(x,y)$ :

• $2x - 2 = 0 \Rightarrow x = 1$
• $-4 = 0$ n'a pas de solution.

Pour $h(x,y)$ :

• $4x^3 + 2 = 0 \Rightarrow x^3 = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = -\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$.
• $8y = 0 \Rightarrow y = 0$.

3. Analyser la nature des points stationnaires

Pour chaque point stationnaire, nous devons examiner la nature (maximum, minimum, ou point selle) en utilisant le test du discriminant :

Calculons le discriminant $D$ :

$$ D = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} - \left( \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \right)^2 $$

Les dérivées secondes sont :

• Pour $f$ : $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 0$, $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -2$, $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 0$.
• Pour $g$ : $\frac{\partial^2 g}{\partial x^2} = 2$, $\frac{\partial^2 g}{\partial y^2} = 0$, $\frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y} = 0$.
• Pour $h$ : $\frac{\partial^2 h}{\partial x^2} = 12x^2$, $\frac{\partial^2 h}{\partial y^2} = 8$, $\frac{\partial^2 h}{\partial x \partial y} = 0$.

Calculons $D$ pour chaque fonction à partir des points trouvés.

4. Interpréter le discriminant

Nous interprétons la valeur de $D$ :

• Si $D > 0$ et $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} < 0$, nous avons un maximum local.
• Si $D > 0$ et $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} > 0$, nous avons un minimum local.
• Si $D < 0$, c'est un point selle.