Determine, se existir, a equação do plano tangente ao gráfico da função f(x, y) = 3√(4x² + 9y⁴) + 3ln(2x + 5y), no ponto P = (2, 0, f(2, 0)).

Steps to Solve

1. Calcular $f(2,0)$ Primeiro, calculamos $f(2,0)$ para encontrar a coordenada $z$ do ponto $P$.

$f(2, 0) = 3\sqrt{4(2)^2 + 9(0)^4} + 3\ln(2(2) + 5(0)) = 3\sqrt{16} + 3\ln(4) = 3(4) + 3\ln(4) = 12 + 3\ln(4)$

2. Calcular as derivadas parciais Calculamos as derivadas parciais de $f(x, y)$ em relação a $x$ e $y$.

$$f_x(x, y) = \frac{\partial}{\partial x} (3\sqrt{4x^2 + 9y^4} + 3\ln(2x + 5y)) = 3 \cdot \frac{1}{2\sqrt{4x^2 + 9y^4}} \cdot 8x + 3 \cdot \frac{1}{2x + 5y} \cdot 2 = \frac{12x}{\sqrt{4x^2 + 9y^4}} + \frac{6}{2x+5y}$$

$$f_y(x, y) = \frac{\partial}{\partial y} (3\sqrt{4x^2 + 9y^4} + 3\ln(2x + 5y)) = 3 \cdot \frac{1}{2\sqrt{4x^2 + 9y^4}} \cdot 36y^3 + 3 \cdot \frac{1}{2x + 5y} \cdot 5 = \frac{54y^3}{\sqrt{4x^2 + 9y^4}} + \frac{15}{2x+5y}$$

3. Avaliar as derivadas parciais no ponto (2, 0) Agora, avaliamos as derivadas parciais no ponto $(2, 0)$.

$$f_x(2, 0) = \frac{12(2)}{\sqrt{4(2)^2 + 9(0)^4}} + \frac{6}{2(2) + 5(0)} = \frac{24}{\sqrt{16}} + \frac{6}{4} = \frac{24}{4} + \frac{3}{2} = 6 + \frac{3}{2} = \frac{12}{2} + \frac{3}{2} = \frac{15}{2}$$

$$f_y(2, 0) = \frac{54(0)^3}{\sqrt{4(2)^2 + 9(0)^4}} + \frac{15}{2(2) + 5(0)} = \frac{0}{4} + \frac{15}{4} = 0 + \frac{15}{4} = \frac{15}{4}$$

4. Escrever a equação do plano tangente A equação do plano tangente é dada por:

$z - f(2, 0) = f_x(2, 0)(x - 2) + f_y(2, 0)(y - 0)$

$z - (12 + 3\ln(4)) = \frac{15}{2}(x - 2) + \frac{15}{4}y$