Date le 3 rette del piano xy di equazione y = x, 2x - y - 1 = 0, 4y - x - 3 = 0, quale delle seguenti affermazioni è vera? A) Passano tutte per uno stesso punto B) Sono ortogonali... Date le 3 rette del piano xy di equazione y = x, 2x - y - 1 = 0, 4y - x - 3 = 0, quale delle seguenti affermazioni è vera? A) Passano tutte per uno stesso punto B) Sono ortogonali a due a due C) Sono tutte parallele D) Almeno una retta ha coefficiente angolare negativo E) La seconda e la terza retta intersecano entrambe il semiasse negativo delle y Read more

Steps to Solve

1. Calcolare i coefficienti angolari delle rette

Riscriviamo le equazioni delle rette nella forma $y = mx + q$, dove $m$ è il coefficiente angolare e $q$ è l'intercetta sull'asse y.

Retta 1: $y = x$, quindi $m_1 = 1$.

Retta 2: $2x - y - 1 = 0 \Rightarrow y = 2x - 1$, quindi $m_2 = 2$.

Retta 3: $4y - x - 3 = 0 \Rightarrow 4y = x + 3 \Rightarrow y = \frac{1}{4}x + \frac{3}{4}$, quindi $m_3 = \frac{1}{4}$.

2. Verificare se sono parallele

Due rette sono parallele se hanno lo stesso coefficiente angolare. Poiché $m_1 \neq m_2 \neq m_3$, le rette non sono tutte parallele. Quindi, l'opzione C è falsa.

3. Verificare se sono ortogonali

Due rette sono ortogonali se il prodotto dei loro coefficienti angolari è -1. $m_1 \cdot m_2 = 1 \cdot 2 = 2 \neq -1$, $m_1 \cdot m_3 = 1 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4} \neq -1$, $m_2 \cdot m_3 = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \neq -1$. Quindi, le rette non sono ortogonali a due a due. Perciò, l'opzione B è falsa.

4. Verificare i coefficienti angolari negativi Nessuna delle rette ha coefficiente angolare negativo, quindi l'opzione D è falsa.

5. Verificare le intercette con l'asse y Retta 2: $y = 2x - 1$, quindi l'intercetta è $q_2 = -1$. Quindi la seconda retta interseca il semiasse negativo delle y. Retta 3: $y = \frac{1}{4}x + \frac{3}{4}$, quindi l'intercetta è $q_3 = \frac{3}{4}$. Quindi la terza retta interseca il semiasse positivo delle y. Perciò, l'opzione E è falsa.

6. Verificare se passano per lo stesso punto

Per verificare se le rette passano per lo stesso punto, dobbiamo trovare l'intersezione tra due rette e vedere se la terza retta passa per quel punto.

Intersezione tra la retta 1 e la retta 2: $y = x$ e $y = 2x - 1$. $x = 2x - 1 \Rightarrow x = 1$. Quindi $y = 1$. Il punto di intersezione è $(1, 1)$.

Verifichiamo se la retta 3 passa per $(1, 1)$: $1 = \frac{1}{4}(1) + \frac{3}{4} \Rightarrow 1 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} \Rightarrow 1 = 1$. La retta 3 passa per il punto $(1, 1)$.

Quindi, tutte le rette passano per il punto $(1, 1)$. L'opzione A è vera.