¿Cuáles son los valores de x que satisfacen la desigualdad cuadrática -x² - 2x + 3 < 0?
Understand the Problem
La pregunta pide encontrar los valores de x que cumplen la desigualdad cuadrática -x² - 2x + 3 < 0. Esto implica resolver la desigualdad para determinar el rango de valores de x que la satisfacen.
Answer
$x \in (-\infty, -3) \cup (1, \infty)$
Answer for screen readers
$x \in (-\infty, -3) \cup (1, \infty)$
Steps to Solve
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Multiplicar por -1 Para facilitar la factorización, multiplicamos ambos lados de la desigualdad por -1. Esto invierte el signo de la desigualdad: $$-x^2 - 2x + 3 < 0$$ $$x^2 + 2x - 3 > 0$$
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Factorizar la expresión cuadrática Factorizamos el trinomio cuadrático: $$x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1)$$ Por lo tanto, la desigualdad se convierte en: $$(x + 3)(x - 1) > 0$$
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Encontrar los puntos críticos Los puntos críticos son los valores de $x$ que hacen que cada factor sea igual a cero: $$x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$$ $$x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$$
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Analizar los intervalos Usamos los puntos críticos para dividir la recta numérica en tres intervalos: $(-\infty, -3)$, $(-3, 1)$, y $(1, \infty)$. Evaluamos un valor de prueba en cada intervalo para determinar el signo de $(x + 3)(x - 1)$ en ese intervalo.
- Intervalo $(-\infty, -3)$: Escogemos $x = -4$. Entonces, $(-4 + 3)(-4 - 1) = (-1)(-5) = 5 > 0$.
- Intervalo $(-3, 1)$: Escogemos $x = 0$. Entonces, $(0 + 3)(0 - 1) = (3)(-1) = -3 < 0$.
- Intervalo $(1, \infty)$: Escogemos $x = 2$. Entonces, $(2 + 3)(2 - 1) = (5)(1) = 5 > 0$.
- Determinar la solución Queremos los intervalos donde $(x + 3)(x - 1) > 0$. De nuestro análisis, estos son $(-\infty, -3)$ y $(1, \infty)$. Por lo tanto, la solución es: $$x < -3 \text{ o } x > 1$$ En notación de intervalo: $$x \in (-\infty, -3) \cup (1, \infty)$$
$x \in (-\infty, -3) \cup (1, \infty)$
More Information
La solución indica que cualquier valor de $x$ menor que $-3$ o mayor que $1$ satisfará la desigualdad original $-x^2 - 2x + 3 < 0$.
Tips
Un error común es no invertir el signo de la desigualdad al multiplicar por -1. Otro error común es incluir los puntos críticos en la solución cuando la desigualdad es estricta ($<$ o $>$) en lugar de no estricta ($\leq$ o $\geq$). En este caso, como la desigualdad es $-x^2 - 2x + 3 < 0$ (estricta), los puntos críticos $x = -3$ y $x = 1$ no están incluidos en la solución.
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