Considérons le modèle du marché suivant (les prix en DH): 1) Calculer le coût d'acquisition du portefeuille initial d'un investisseur vendant à découvert 2 parts d'actifs risqué p... Considérons le modèle du marché suivant (les prix en DH): 1) Calculer le coût d'acquisition du portefeuille initial d'un investisseur vendant à découvert 2 parts d'actifs risqué pour acheter 8 parts d'actifs sans risque. 2) Trouver une stratégie pour gagner au moins 1200 DH à moindre frais. Read more

Steps to Solve

1. Calculer le coût de l'acquisition du portefeuille initial

L'investisseur vend à découvert 2 parts d'actifs risqué (S1) et achète 8 parts d'actifs sans risque (S0).

Le coût du portefeuille initial est donné par :

$Coût = (nombre \ d'actions \ S0 \times prix \ de \ S0) + (nombre \ d'actions \ S1 \times prix \ de \ S1)$

Comme l'investisseur vend à découvert 2 parts de S1, cela signifie que le nombre d'actions S1 est -2. Il achète 8 parts d'actifs sans risque S0 donc le nombre d'action S0 est 8. Le prix de S0 à t=0 est 1 et le prix de S1 est 4.

Donc : $Coût = (8 \times 1) + (-2 \times 4) = 8 - 8 = 0$

2. Trouver une stratégie pour gagner au moins 1200 DH à moindre frais

Pour gagner au moins 1200 DH, nous devons analyser les gains possibles dans les deux états du monde (ω1 et ω2) à t=1.

Soit $\Delta_0$ le nombre d'actions de l'actif sans risque et $\Delta_1$ le nombre d'actions de l'actif risqué. Le gain dans chaque état du monde est donné par :

Dans l'état ω1 : $Gain_1 = \Delta_0 \times 1.05 + \Delta_1 \times 2$ Dans l'état ω2 : $Gain_2 = \Delta_0 \times 1.05 + \Delta_1 \times 3$

Nous voulons que $Gain_1 \ge 1200$ et $Gain_2 \ge 1200$. Il faut minimiser le coût initial de la stratégie, qui est $Coût = \Delta_0 + 4\Delta_1$.

Nous devons résoudre le système d'inéquations suivant :

$1.05\Delta_0 + 2\Delta_1 \ge 1200$ $1.05\Delta_0 + 3\Delta_1 \ge 1200$

Soustrayons la première inéquation de la seconde: $(1.05\Delta_0 + 3\Delta_1) - (1.05\Delta_0 + 2\Delta_1) \ge 1200 -1200$ $\Delta_1 \ge 0$

La première inéquation implique : $1.05\Delta_0 \ge 1200 - 2\Delta_1$ $\Delta_0 \ge \frac{1200 - 2\Delta_1}{1.05}$

Nous voulons minimiser le coût initial $Coût = \Delta_0 + 4\Delta_1$. Substituons $\Delta_0$:

$Coût = \frac{1200 - 2\Delta_1}{1.05} + 4\Delta_1 = \frac{1200}{1.05} - \frac{2}{1.05}\Delta_1 + 4\Delta_1 = \frac{1200}{1.05} + \frac{4.2 - 2}{1.05}\Delta_1 = \frac{1200}{1.05} + \frac{2.2}{1.05}\Delta_1$

Pour minimiser le coût, nous devons minimiser $\Delta_1$. Puisque $\Delta_1 \ge 0$, prenons $\Delta_1 = 0$.

Alors, $\Delta_0 \ge \frac{1200}{1.05} \approx 1142.86$. Donc, prenons $\Delta_0 = 1142.86$.

$Coût = 1142.86 + 4 \times 0 = 1142.86$

Alors, une stratégie pour gagner au moins 1200 DH serait d'acheter environ 1142.86 parts de l'actif sans risque et 0 part de l'actif risqué. Le coût initial de cette stratégie serait d'environ 1142.86 DH.