Con los datos que ofrece la figura, calcula la altura del árbol.
Understand the Problem
El problema nos pide calcular la altura de un árbol utilizando la información proporcionada en la figura. La figura muestra un triángulo con un árbol en su interior, donde se indican ángulos y distancias. Para resolverlo, emplearemos trigonometría, específicamente las funciones trigonométricas tangente, para relacionar los ángulos de elevación con las distancias horizontales y verticales (altura del árbol).
Answer
La altura del árbol es aproximadamente $19.08$ metros.
Answer for screen readers
La altura del árbol es aproximadamente $19.08$ metros.
Steps to Solve
- Definir la altura del árbol
Sea $h$ la altura del árbol.
- Establecer las ecuaciones trigonométricas
Usamos la función tangente para relacionar los ángulos y las distancias en ambos triángulos formados:
$\tan(40^\circ) = \frac{h}{x}$ (1)
$\tan(35^\circ) = \frac{h}{50-x}$ (2)
-
Resolver para $x$ en términos de $h$ De la ecuación (1): $x = \frac{h}{\tan(40^\circ)}$
-
Sustituir $x$ en la ecuación (2) $\tan(35^\circ) = \frac{h}{50 - \frac{h}{\tan(40^\circ)}}$
-
Despejar $h$
$50 - \frac{h}{\tan(40^\circ)} = \frac{h}{\tan(35^\circ)}$
$50 = h \cdot \left( \frac{1}{\tan(35^\circ)} + \frac{1}{\tan(40^\circ)} \right)$
$h = \frac{50}{\frac{1}{\tan(35^\circ)} + \frac{1}{\tan(40^\circ)}}$
- Calcular el valor de $h$
$h = \frac{50}{\frac{1}{0.7002} + \frac{1}{0.8391}}$
$h = \frac{50}{1.4282 + 1.1918}$
$h = \frac{50}{2.62}$
$h \approx 19.08$
La altura del árbol es aproximadamente $19.08$ metros.
More Information
La altura del árbol se calculó utilizando trigonometría y resolviendo un sistema de ecuaciones basado en las tangentes de los ángulos de elevación.
Tips
- No usar la función tangente correctamente.
- Errores algebraicos al despejar las variables.
- Usar la calculadora en modo incorrecto (grados o radianes).
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