چگالی توزیع زیر را در نظر بگیرید. f(x, y) = { 2c y (1 - x); 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 0; ow ; c مطلوب است.

Steps to Solve

1. شرط نرمالیزاسیون توزیع احتمال برای یافتن مقدار ثابت ( c )، ابتدا باید دوگانه توزیع احتمال را بر روی دامنه مورد نظر ادغام کنیم تا مطمئن شویم که نرمالیزه است، یعنی مجموع سطح زیر منحنی برابر با 1 باشد. بنابراین باید محاسبه کنیم:

$$ \int_0^1 \int_0^x f(x,y) , dy , dx = 1 $$

2. جایگذاری تابع در انتگرال تابع مشترک احتمال را در انتگرال جایگذاری می‌کنیم:

$$ \int_0^1 \int_0^x 2 c y (1 - x) , dy , dx $$

3. محاسبه انتگرال داخلی ابتدا انتگرال داخلی را نسبت به ( y ) محاسبه می‌کنیم:

$$ \int_0^x 2 c y (1 - x) , dy = 2 c (1 - x) \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^x = 2 c (1 - x) \left( \frac{x^2}{2} \right) = c x^2 (1 - x) $$

4. محاسبه انتگرال خارجی حالا باید انتگرال خارجی را محاسبه کنیم:

$$ \int_0^1 c x^2 (1 - x) , dx $$

این انتگرال را می‌توان به دو بخش تقسیم کرد:

$$ c \int_0^1 (x^2 - x^3) , dx $$

حالا هر بخش انتگرال را محاسبه می‌کنیم:

$$ \int x^2 , dx = \frac{x^3}{3} \Big|_0^1 = \frac{1}{3} $$ $$ \int x^3 , dx = \frac{x^4}{4} \Big|_0^1 = \frac{1}{4} $$

5. جایگذاری نتایج انتگرال‌ها نتایج را جایگذاری می‌کنیم:

$$ c \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) = c \left( \frac{4}{12} - \frac{3}{12} \right) = c \frac{1}{12} $$

6. برابر کردن با 1 برای نرمالیزه شدن، نتیجه باید برابر با 1 باشد:

$$ c \frac{1}{12} = 1 $$

7. حل برای ( c ) بنابراین:

$$ c = 12 $$