Calcule a integral: ∫ (2x^4 + 3x^3 + 3x + 2) / (x(x^2 + 1)^2) dx

Steps to Solve

1. Descomposición en fracciones parciales

Primero, descompondremos la fracción en fracciones parciales. La expresión es:

$$ \frac{2x^4 + 3x^3 + 3x + 2}{x(x^2 + 1)^2} $$

Podemos expresar esto como:

$$ \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1} + \frac{Dx + E}{(x^2 + 1)^2} $$

Donde $A$, $B$, $C$, $D$, y $E$ son constantes que debemos determinar.

2. Igualar los numeradores

Multiplicamos ambos lados por el denominador (x(x^2 + 1)^2) y igualamos los numeradores:

$$ 2x^4 + 3x^3 + 3x + 2 = A(x^2 + 1)^2 + (Bx + C)x(x^2 + 1) + (Dx + E)x $$

3. Sustituir diferentes valores de (x)

Para encontrar (A), (B), (C), (D), y (E), sustituimos diferentes valores de (x). Empezamos con (x = 0):

$$ 2 = A(0^2 + 1)^2 \Rightarrow A = 2 $$

4. Uso de otros valores para simplificar calculaciones

Ahora, podemos usar otros valores como (x = 1) y (x = -1) para resolver el sistema de ecuaciones y encontrar los otros coeficientes.

Una vez que calculamos todos los coeficientes, obtenemos las fracciones parciales.

5. Integración de cada término por separado

Una vez que tenemos la descomposición en fracciones parciales, integramos cada término:

$$ \int \frac{2}{x} dx + \int \frac{Bx+C}{x^2+1} dx + \int \frac{Dx + E}{(x^2 + 1)^2} dx $$

6. Aplicar las fórmulas de integración

Usamos las siguientes fórmulas:

• $\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C$
• $\int \frac{1}{x^2 + 1} dx = \tan^{-1}(x) + C$
• Para el último término, podemos usar una sustitución o una identidad de derivadas.

7. Combinar todo

Finalmente, combinamos todos los resultados de las integrales y simplificamos.