Buna göre a . b ifadesinin eş değeri kaçtır?

Steps to Solve

1. Verilen Eşitliğin Yazılması

Verilen denkleme göre, karelerin üstündeki sayıların çarpımı kara alttaki sayıların çarpımına eşittir. Yani: $$ 2^7 \cdot b = 2^{13} \cdot 2^{11} \cdot a $$

2. Üstlerin Toplanması

Denklemdeki sağ kısımda aynı tabana sahip olduklarımızı toplayabiliriz: $$ b = \frac{2^{13} \cdot 2^{11} \cdot a}{2^7} $$

Bunu sadeleştirelim: $$ b = 2^{(13 + 11 - 7)} \cdot a $$

3. Üstleri Hesaplama

Üstleri toplayarak son durumu bulalım: $$ 13 + 11 - 7 = 17 $$

Yani, $$ b = 2^{17} \cdot a $$

4. Sonuç için a.b İfadesinin Hesaplanması

Bize a.b ifadesini soruyor. $$ a \cdot b = a \cdot (2^{17} \cdot a) = 2^{17} \cdot a^2 $$

5. Eşitliğin Olması için a'nın Değeri

Buradan, $b$ ve $a$ tam sayı olmalı. Eğer $a = 2^k$ (k tam sayı) alırsak: $$ a.b = 2^{17} \cdot (2^k)^2 = 2^{17} \cdot 2^{2k} = 2^{(17 + 2k)} $$

6. Sonucun Bulunması

Buradaki ifadeden $a.b$ için belirli bir değer bulabiliriz. Fakat soruda verilen seçenekler arasında $a.b = 2^{15}$ olduğuna göre, bu durumda $17 + 2k = 15$ denkleminden $2k = 15 - 17 = -2$ bulunur.

Yani, $$ k = -1 $$ ve dolayısıyla $ a = 2^{-1} = \frac{1}{2} $ olur.

Bu durumda $a.b$ değeri hesaplanır: $$ a \cdot b = 2^{15} $$