Bestimmen Sie, sofern möglich, die Grenzwerte der Folgen: a) (4n^2 + 3n - 27) / (8n^2 - 24n + 108) b) (12n^7 - 8n^5 + 4n^3 - 12) / (18n^7 - 3n^4 + n^2) c) (5n^3 - 6n) / (8n^4 - 3)... Bestimmen Sie, sofern möglich, die Grenzwerte der Folgen: a) (4n^2 + 3n - 27) / (8n^2 - 24n + 108) b) (12n^7 - 8n^5 + 4n^3 - 12) / (18n^7 - 3n^4 + n^2) c) (5n^3 - 6n) / (8n^4 - 3) d) (6n^5 - 7n^3 - 5) / (n^4 - 6n) e) [(-1)^n + (1/n)] f) [(-1)^n * (1/n)]
Understand the Problem
Die Frage besteht darin, die Grenzwerte verschiedener Folgen zu bestimmen, falls diese existieren. Dies beinhaltet rationale Funktionen von n und Folgen mit Termen wie (-1)^n.
Answer
a) $\frac{1}{2}$ b) $\frac{2}{3}$ c) $0$ d) existiert nicht e) existiert nicht f) $0$
Answer for screen readers
a) $\frac{1}{2}$ b) $\frac{2}{3}$ c) $0$ d) existiert nicht e) existiert nicht f) $0$
Steps to Solve
- Grenzwerte rationaler Funktionen bestimmen (a, b, c, d)
Um den Grenzwert einer rationalen Funktion zu bestimmen, betrachtet man die höchsten Potenzen im Zähler und Nenner.
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Aufgabe a: $$ \lim_{n \to \infty} \frac{4n^2+3n-27}{8n^2-24n+108} $$ Dividiere Zähler und Nenner durch $n^2$: $$ \lim_{n \to \infty} \frac{4+\frac{3}{n}-\frac{27}{n^2}}{8-\frac{24}{n}+\frac{108}{n^2}} = \frac{4+0-0}{8-0+0} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} $$
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Aufgabe b: $$ \lim_{n \to \infty} \frac{12n^7-8n^5+4n^3-12}{18n^7-3n^4+n^2} $$ Dividiere Zähler und Nenner durch $n^7$: $$ \lim_{n \to \infty} \frac{12-\frac{8}{n^2}+\frac{4}{n^4}-\frac{12}{n^7}}{18-\frac{3}{n^3}+\frac{1}{n^5}} = \frac{12-0+0-0}{18-0+0} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3} $$
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Aufgabe c: $$ \lim_{n \to \infty} \frac{5n^3-6n}{8n^4-3} $$ Dividiere Zähler und Nenner durch $n^4$: $$ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{5}{n}-\frac{6}{n^3}}{8-\frac{3}{n^4}} = \frac{0-0}{8-0} = \frac{0}{8} = 0 $$
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Aufgabe d: $$ \lim_{n \to \infty} \frac{6n^5-7n^3-5}{n^4-6n} $$ Dividiere Zähler und Nenner durch $n^4$: $$ \lim_{n \to \infty} \frac{6n-\frac{7}{n}-\frac{5}{n^4}}{1-\frac{6}{n^3}} = \frac{\infty-0-0}{1-0} = \infty $$ Der Grenzwert existiert nicht.
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Grenzwerte Folgen mit (-1)^n (e, f)
Betrachte Folgen mit Termen wie $(-1)^n$.
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Aufgabe e: $$ \lim_{n \to \infty} \left[ (-1)^n + \frac{1}{n} \right] $$ $\frac{1}{n}$ konvergiert gegen 0. $(-1)^n$ oszilliert zwischen -1 und 1. Daher divergiert die Folge.
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Aufgabe f: $$ \lim_{n \to \infty} \left[ (-1)^n \frac{1}{n} \right] $$ Da $\frac{1}{n}$ gegen 0 konvergiert und $(-1)^n$ beschränkt ist (zwischen -1 und 1), konvergiert die Folge gegen 0.
a) $\frac{1}{2}$ b) $\frac{2}{3}$ c) $0$ d) existiert nicht e) existiert nicht f) $0$
More Information
Die Grenzwerte rationaler Funktionen lassen sich durch Betrachten der höchsten Potenzen bestimmen. Folgen mit $(-1)^n$ müssen gesondert betrachtet werden, da sie oft oszillieren.
Tips
- Bei rationalen Funktionen nicht durch die höchste Potenz zu dividieren.
- Zu übersehen, dass $(-1)^n$ oszilliert.
- Falsche Schlussfolgerungen beim Grenzwert unendlich ($\infty$).
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