Bestimme eine LR-Zerlegung der Matrix A und löse anschließend das lineare Gleichungssystem Ax = b mit b = (8, 9, 13)^T mit Hilfe der Zerlegung. Gib außerdem die Determinante von A... Bestimme eine LR-Zerlegung der Matrix A und löse anschließend das lineare Gleichungssystem Ax = b mit b = (8, 9, 13)^T mit Hilfe der Zerlegung. Gib außerdem die Determinante von A an. A = ((1, 3, 7), (2, 4, 5), (3, 1, 2))
Understand the Problem
Die Frage fordert, die LR-Zerlegung der gegebenen Matrix A zu bestimmen. Anschließend soll das lineare Gleichungssystem Ax = b mit dem gegebenen Vektor b unter Verwendung dieser Zerlegung gelöst werden. Abschließend soll die Determinante von A berechnet werden.
Answer
$L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 4 & 1 \end{pmatrix}$, $R = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 7 \\ 0 & -2 & -9 \\ 0 & 0 & 17 \end{pmatrix}$, $x = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$, $det(A) = -34$
Answer for screen readers
$L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 2 & 1 & 0 \ 3 & 4 & 1 \end{pmatrix}$ $R = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 7 \ 0 & -2 & -9 \ 0 & 0 & 17 \end{pmatrix}$ $x = \begin{pmatrix} 4 \ -1 \ 1 \end{pmatrix}$ $det(A) = -34$
Steps to Solve
- Berechne die LR-Zerlegung von A
Wir suchen Matrizen $L$ (untere Dreiecksmatrix mit Einsen auf der Diagonale) und $R$ (obere Dreiecksmatrix) so, dass $A = LR$.
Wir wenden den Gauß-Algorithmus an:
$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 7 \ 2 & 4 & 5 \ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$
Subtrahiere das 2-fache der ersten Zeile von der zweiten Zeile ($Z_2 \leftarrow Z_2 - 2Z_1$):
$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 7 \ 0 & -2 & -9 \ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$
Subtrahiere das 3-fache der ersten Zeile von der dritten Zeile ($Z_3 \leftarrow Z_3 - 3Z_1$):
$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 7 \ 0 & -2 & -9 \ 0 & -8 & -19 \end{pmatrix}$
Subtrahiere das 4-fache der zweiten Zeile von der dritten Zeile ($Z_3 \leftarrow Z_3 - 4Z_2$):
$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 7 \ 0 & -2 & -9 \ 0 & 0 & 17 \end{pmatrix} = R$
Die Matrix $L$ besteht aus den Faktoren, die wir bei der Zeilenreduktion benutzt haben:
$L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 2 & 1 & 0 \ 3 & 4 & 1 \end{pmatrix}$
- Löse Ly = b
Wir lösen nun $Ly = b$ für $y$:
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 2 & 1 & 0 \ 3 & 4 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \ y_2 \ y_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \ 9 \ 13 \end{pmatrix}$
$y_1 = 8$ $2y_1 + y_2 = 9 \Rightarrow y_2 = 9 - 2(8) = 9 - 16 = -7$ $3y_1 + 4y_2 + y_3 = 13 \Rightarrow 3(8) + 4(-7) + y_3 = 13 \Rightarrow 24 - 28 + y_3 = 13 \Rightarrow y_3 = 13 - 24 + 28 = 17$
Also ist $y = \begin{pmatrix} 8 \ -7 \ 17 \end{pmatrix}$
- Löse Rx = y
Jetzt lösen wir $Rx = y$ für $x$:
$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 7 \ 0 & -2 & -9 \ 0 & 0 & 17 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \ -7 \ 17 \end{pmatrix}$
$17x_3 = 17 \Rightarrow x_3 = 1$ $-2x_2 - 9x_3 = -7 \Rightarrow -2x_2 - 9(1) = -7 \Rightarrow -2x_2 = 2 \Rightarrow x_2 = -1$ $x_1 + 3x_2 + 7x_3 = 8 \Rightarrow x_1 + 3(-1) + 7(1) = 8 \Rightarrow x_1 - 3 + 7 = 8 \Rightarrow x_1 = 4$
Also ist $x = \begin{pmatrix} 4 \ -1 \ 1 \end{pmatrix}$
- Berechne die Determinante von A
Die Determinante von $A$ ist das Produkt der Diagonalelemente von $R$:
$det(A) = det(R) = 1 \cdot (-2) \cdot (17) = -34$
$L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 2 & 1 & 0 \ 3 & 4 & 1 \end{pmatrix}$ $R = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 7 \ 0 & -2 & -9 \ 0 & 0 & 17 \end{pmatrix}$ $x = \begin{pmatrix} 4 \ -1 \ 1 \end{pmatrix}$ $det(A) = -34$
More Information
Die LR-Zerlegung ist ein wichtiges Werkzeug, um lineare Gleichungssysteme effizient zu lösen. Die Determinante einer Matrix gibt Auskunft über die Eigenschaften der Matrix und des zugehörigen linearen Gleichungssystems.
Tips
Beim Berechnen der LR-Zerlegung können Vorzeichenfehler auftreten oder falsche Faktoren verwendet werden. Es ist wichtig, die Rechenschritte sorgfältig durchzuführen. Beim Vorwärts- und Rückwärtseinsetzen ist es wichtig, die Gleichungen in der richtigen Reihenfolge zu lösen.
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