Berechne die Nullstelle von f(x)=x^4-9x^2 mit Substitution
Understand the Problem
Die Frage verlangt die Berechnung der Nullstellen der Funktion f(x) = x^4 - 9x^2 unter Verwendung der Substitution. Das bedeutet, dass wir zuerst eine Substitution vornehmen müssen, um die Funktion in eine leichter lösbare Form zu bringen (wahrscheinlich eine quadratische Gleichung), und dann die Nullstellen der substituierten Gleichung finden. Anschließend müssen wir die Substitution rückgängig machen, um die Nullstellen der ursprünglichen Funktion zu erhalten.
Answer
Die Nullstellen sind $x = -3, 0, 3$.
Answer for screen readers
Die Nullstellen der Funktion $f(x) = x^4 - 9x^2$ sind $x = -3, 0, 3$.
Steps to Solve
- Substitution durchführen
Wir substituieren $z = x^2$. Damit wird die ursprüngliche Gleichung $f(x) = x^4 - 9x^2 = 0$ zu einer quadratischen Gleichung in $z$:
$z^2 - 9z = 0$
- Quadratische Gleichung nach z auflösen
Wir können $z$ ausklammern:
$z(z - 9) = 0$
Daraus ergeben sich die Lösungen für $z$:
$z_1 = 0$ $z_2 = 9$
- Rücksubstitution durchführen
Nun substituieren wir zurück, um die entsprechenden $x$-Werte zu finden. Da $z = x^2$, haben wir:
Für $z_1 = 0$: $x^2 = 0$ $x = 0$
Für $z_2 = 9$: $x^2 = 9$ $x = \pm \sqrt{9}$ $x = \pm 3$
- Nullstellen angeben
Die Nullstellen der ursprünglichen Funktion sind also $x = -3, 0, 3$.
Die Nullstellen der Funktion $f(x) = x^4 - 9x^2$ sind $x = -3, 0, 3$.
More Information
Die Funktion hat drei Nullstellen, was aufgrund des Grades des Polynoms (Grad 4) und der Form der Funktion (gerade Funktion) plausibel ist. Eine doppelte Nullstelle liegt bei $x=0$ vor.
Tips
Ein häufiger Fehler ist, die Rücksubstitution zu vergessen und die Lösungen für $z$ als die Lösungen für $x$ anzugeben. Ein weiterer Fehler wäre, die negative Wurzel bei der Lösung von $x^2 = 9$ zu übersehen.
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