Berechne die Inverse von A.

Steps to Solve

1. Matrix aufsetzen

Die Matrix $A$ ist gegeben durch: $$ A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \ 2 & 1 & -1 \ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix} $$

2. Determinante berechnen

Um die Inverse zu finden, müssen wir zuerst die Determinante von $A$ berechnen. Die Determinante für eine $3 \times 3$ Matrix wird folgendermaßen berechnet: $$ \text{det}(A) = a(ei-fh) - b(di-fg) + c(dh-eg) $$ Für die Matrix $A$ haben wir:

$$ \text{det}(A) = 2 \cdot (1\cdot2 - (-1)\cdot1) - 3 \cdot (2\cdot2 - (-1)\cdot2) + 1 \cdot (2\cdot1 - 2\cdot2) $$

Das ergibt: $$ \text{det}(A) = 2 \cdot (2 + 1) - 3 \cdot (4 + 2) + 1 \cdot (2 - 4) $$ $$ = 2 \cdot 3 - 3 \cdot 6 - 2 = 6 - 18 - 2 = -14 $$

3. Adjungierte Matrix berechnen

Nun berechnen wir die adjungierte Matrix $A^*$, die aus den Minoren und Cofaktoren besteht. Wir bestimmen die Cofaktoren:

• $C_{11} = \text{det} \begin{pmatrix} 1 & -1 \ 1 & 2 \end{pmatrix} = 1\cdot2 - (-1)\cdot1 = 3$
• $C_{12} = -\text{det} \begin{pmatrix} 2 & -1 \ 2 & 2 \end{pmatrix} = -(2\cdot2 - (-1)\cdot2) = -6$
• $C_{13} = \text{det} \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 2 & 1 \end{pmatrix} = 2\cdot1 - 1\cdot2 = 0$
• $C_{21} = -\text{det} \begin{pmatrix} 3 & 1 \ 1 & 2 \end{pmatrix} = -(3\cdot2 - 1\cdot1) = -5$
• $C_{22} = \text{det} \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 2 & 2 \end{pmatrix} = 2\cdot2 - 1\cdot2 = 2$
• $C_{23} = -\text{det} \begin{pmatrix} 2 & 3 \ 2 & 1 \end{pmatrix} = -(2\cdot1 - 3\cdot2) = 4$
• $C_{31} = \text{det} \begin{pmatrix} 3 & 1 \ 1 & -1 \end{pmatrix} = 3\cdot(-1) - 1\cdot1 = -4$
• $C_{32} = -\text{det} \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 2 & -1 \end{pmatrix} = -(2(-1) - 1\cdot2) = 0$
• $C_{33} = \text{det} \begin{pmatrix} 2 & 3 \ 2 & 1 \end{pmatrix} = 2\cdot1 - 3\cdot2 = -4$

Die adjungierte Matrix ist dann:

$$ A^* = \begin{pmatrix} 3 & -6 & 0 \ -5 & 2 & 4 \ -4 & 0 & -4 \end{pmatrix} $$

4. Inverse berechnen

Die Inverse einer Matrix berechnet sich mit der Formel: $$ A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \cdot A^* $$ Da $\text{det}(A) = -14$, erhalten wir:

$$ A^{-1} = \frac{1}{-14} \cdot \begin{pmatrix} 3 & -6 & 0 \ -5 & 2 & 4 \ -4 & 0 & -4 \end{pmatrix} $$

Das endgültige Ergebnis ist: $$ A^{-1} = \begin{pmatrix} -\frac{3}{14} & \frac{6}{14} & 0 \ \frac{5}{14} & -\frac{2}{14} & -\frac{4}{14} \ \frac{4}{14} & 0 & \frac{4}{14} \end{pmatrix} $$