Aufgabe 3: Bilden Sie das Produkt aus den Lösungen der Betragsgleichung |2π - 1| = 5. Aufgabe 4: Berechnen Sie log2(32) - log3(81). Aufgabe 5: Bilden Sie die Summe aus den Lösungen... Aufgabe 3: Bilden Sie das Produkt aus den Lösungen der Betragsgleichung |2π - 1| = 5. Aufgabe 4: Berechnen Sie log2(32) - log3(81). Aufgabe 5: Bilden Sie die Summe aus den Lösungen der quadratischen Gleichung 7x² + 14x = 19. Aufgabe 6: Bilden Sie das Produkt aller Nullstellen von (x + 4)(x² - 9).
Understand the Problem
Die Frage besteht aus mehreren Aufgaben, die mathematische Probleme behandeln. Aufgabe 3 erfordert das Finden eines Produkts, Aufgabe 4 beschäftigt sich mit Logarithmen, Aufgabe 5 verlangt die Summe von Lösungen einer quadratischen Gleichung, und Aufgabe 6 bezieht sich auf das Produkt von Nullstellen. Jedes dieser Probleme verlangt eine spezifische mathematische Lösung.
Answer
Die Ergebnisse der Aufgaben sind: $-6$, $1$, $-2$, $36$.
Answer for screen readers
Das Ergebnis ist:
- Aufgabe 3: $-6$
- Aufgabe 4: $1$
- Aufgabe 5: $-2$
- Aufgabe 6: $36$
Steps to Solve
- Aufgabe 3: Lösungen der Betragsgleichung finden
Die Gleichung ist $|2\pi - 1| = 5$. Wir müssen zwei Fälle betrachten:
- Fall 1: $2\pi - 1 = 5$
$$ 2\pi = 5 + 1 \implies 2\pi = 6 \implies \pi = 3 \implies x_1 = 3 $$
- Fall 2: $2\pi - 1 = -5$
$$ 2\pi = -5 + 1 \implies 2\pi = -4 \implies \pi = -2 \implies x_2 = -2 $$
Das Produkt der Lösungen ist:
$$ x_1 \cdot x_2 = 3 \cdot (-2) = -6 $$
- Aufgabe 4: Logarithmen berechnen
Wir müssen den Ausdruck $log_2(32) - log_3(81)$ auswerten. Zuerst bewerten wir die Werte:
$log_2(32) = 5$, da $32 = 2^5$, und $log_3(81) = 4$, da $81 = 3^4$.
Die Berechnung ist:
$$ log_2(32) - log_3(81) = 5 - 4 = 1 $$
- Aufgabe 5: Summe der Lösungen einer quadratischen Gleichung
Die quadratische Gleichung lautet $7x^2 + 14x - 19 = 0$. Verwende die Mitternachtsformel oder die Summe der Lösungen:
Die Summe der Lösungen ist gegeben durch $-\frac{b}{a}$.
Hier ist $a = 7$ und $b = 14$, also:
$$ \text{Summe der Lösungen} = -\frac{14}{7} = -2 $$
- Aufgabe 6: Produkt der Nullstellen finden
Die gegebene Funktion ist $(x + 4)(x^2 - 9)$. Zuerst setzen wir die Nullstellen:
-
Für $x + 4 = 0$ erhalten wir $x = -4$.
-
Für $x^2 - 9 = 0$ haben wir:
$$ x^2 = 9 \implies x = 3 \text{ oder } x = -3 $$
Das Produkt der Nullstellen ist:
$$ P = (-4) \cdot 3 \cdot (-3) = -4 \cdot 3 \cdot -3 = 36 $$
Das Ergebnis ist:
- Aufgabe 3: $-6$
- Aufgabe 4: $1$
- Aufgabe 5: $-2$
- Aufgabe 6: $36$
More Information
Jede der Aufgaben befasst sich mit unterschiedlichen mathematischen Konzepten: Betragsgleichungen, Logarithmen, quadratischen Gleichungen und Nullstellen. Diese Übungen sind wichtig, um verschiedene Aspekte der Algebra zu verstehen und zu üben.
Tips
- Bei Aufgabe 3 könnte man den Betrag falsch auswerten, was zu falschen Lösungen führt.
- Bei Aufgabe 4 kann der Logarithmus in der falschen Basis verwirren. Würde man nicht beachten, dass $32$ und $81$ Potenzen sind.
- In Aufgabe 5 könnte man die Fehler beim Berechnen der Summe der Wurzeln machen; sicherstellen, dass die richtige Formel verwendet wird.
- In Aufgabe 6 kann es zu Verwirrung bei der Bestimmung der Nullstellen kommen.
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