أسئلة عن شابتر المحددات

Steps to Solve

1. تعريف المحددات

المحدد هو قيمة عددية تمثل خصائص مصفوفة معينة. للمصفوفة $A$ من الحجم $n \times n$، يمكن حساب المحدد باستخدام قاعدة ساروس أو طريقة التحليل.

2. طريقة التوسيع بأسطر

يمكن حساب المحدد باستخدام التوسيع بأسطر (أو أعمدة). إذا كانت لدينا مصفوفة $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}$، فإن المحدد يمكن حسابه كالتالي:

$$ \text{det}(A) = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} \text{det}(A_{ij}) $$

حيث $A_{ij}$ هو المصفوفة الناتجة عن حذف الصف $i$ والعمود $j$.

3. مثال على حساب المحدد

لتوضيح ذلك، دعنا نحسب المحدد لمصفوفة $2 \times 2$:

$$ A = \begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix} $$

الحل سيكون:

$$ \text{det}(A) = ad - bc $$

4. الحساب لمصفوفة أكبر

لمصفوفة أكبر، مثل $3 \times 3$:

$$ B = \begin{pmatrix} a & b & c \ d & e & f \ g & h & i \end{pmatrix} $$

المحدد سيكون:

$$ \text{det}(B) = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh $$