أوجد قيمة: \( \beta(m,n) = \frac{\Gamma(m) \Gamma(n)}{\Gamma(m+n)} \) حيث \( m = \frac{7}{3} \) و \( n = \frac{8}{3} \)

Steps to Solve

1. تعريف المعادلة نعرف المعادلة التي نريد إيجاد قيمتها: $$ \beta(m,n) = \frac{\Gamma(m) \Gamma(n)}{\Gamma(m+n)} $$

2. إدخال القيم نقوم بإدخال القيم المعطاة في المعادلة. لدينا ( m = \frac{7}{3} ) و ( n = \frac{8}{3} ). لذا: $$ m+n = \frac{7}{3} + \frac{8}{3} = \frac{15}{3} = 5 $$

3. حساب (\Gamma(m))، (\Gamma(n))، و (\Gamma(m+n)) نبدأ بحساب كل من:

• ( \Gamma\left(\frac{7}{3}\right) )
• ( \Gamma\left(\frac{8}{3}\right) )
• ( \Gamma(5) )

4. تطبيق معادلة جاما نعلم أن ( \Gamma(n) = (n-1)! ) عندما يكون ( n ) عدد صحيح. لذا: $$ \Gamma(5) = 4! = 24 $$

بالنسبة إلى القيم الأخرى يمكن استخدام علاقات أخرى أو حساب القيمة باستخدام تعريف دالة جاما:

$$ \Gamma\left(\frac{7}{3}\right) \text{ و } \Gamma\left(\frac{8}{3}\right) $$

يمكن استخدام معادلات دالة الجاما أو الجدول لحساب هذه القيم.

5. تطبيق المعادلة النهائية بعد حساب القيم، نقوم بتعويضها في المعادلة: $$ \beta\left(\frac{7}{3}, \frac{8}{3}\right) = \frac{\Gamma\left(\frac{7}{3}\right) \Gamma\left(\frac{8}{3}\right)}{\Gamma(5)} $$

6. حساب القيمة النهائية نقوم بحساب القيمة النهائية لمؤشر بيتا: $$ \beta\left(\frac{7}{3}, \frac{8}{3}\right) = \frac{\Gamma\left(\frac{7}{3}\right) \Gamma\left(\frac{8}{3}\right)}{24} $$