اگر تابع توزیع تجمعی متغیر تصادفی X به صورت زیر باشد، واریانس X را حساب کنید.

Steps to Solve

1. محاسبه امید ریاضی $E(X)$
   امید ریاضی برای یک متغیر تصادفی پیوسته با تابع توزیع تجمعی به صورت زیر محاسبه می‌شود: $$ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) , dx $$ که در آن $f(x)$ چگالی احتمال است. باید چگالی احتمال را از تابع توزیع تجمعی بدست بیاوریم.

2. محاسبه تابع چگالی احتمال $f(x)$
   برای یافتن تابع چگالی احتمال $f(x)$، تابع توزیع تجمعی $F(x)$ را مشتق می‌کنیم:

• برای $x < 0$: $f(x) = 0$
• برای $0 \leq x < 2$: $f(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{12}{25}\right) = 0$
• برای $2 \leq x < 5$: $f(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{20}{25}\right) = \frac{4}{25}$
• برای $x \geq 5$: $f(x) = 0$

پس: $$ f(x) = \begin{cases} 0 & x < 0 \ 0 & 0 \leq x < 2 \ \frac{4}{25} & 2 \leq x < 5 \ 0 & x \geq 5 \end{cases} $$

3. محاسبه واریانس $Var(X)$
   واریانس به صورت زیر محاسبه می‌شود: $$ Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 $$ که ابتدا به محاسبه $E(X^2)$ پرداخته و سپس به محاسبه واریانس می‌پردازیم.

4. محاسبه $E(X^2)$
   برای محاسبه $E(X^2)$ از تابع چگالی احتمال استفاده می‌کنیم: $$ E(X^2) = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) , dx $$ که برای بازه $[2, 5]$ محاسبه می‌شود: $$ E(X^2) = \int_{2}^{5} x^2 \cdot \frac{4}{25} , dx $$

محاسبه یکپارچه: $$ E(X^2) = \frac{4}{25} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{2}^{5} = \frac{4}{25} \left( \frac{125}{3} - \frac{8}{3} \right) = \frac{4}{25} \cdot \frac{117}{3} = \frac{468}{75} $$

5. محاسبه نهایی واریانس
   اکنون می‌توانیم واریانس را محاسبه کنیم:

• برای محاسبه $E(X)$، که پیش از این بدست آوردیم: $$ E(X) = \frac{4 \cdot (2 + 5)}{2} = 14/5 $$

اکنون به محاسبه نهایی واریانس می‌پردازیم: $$ Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{468}{75} - \left(\frac{14}{5}\right)^2 $$

محاسبات را پیش می‌بریم و نتیجه را بدست می‌آوریم.