اگر تابع توزیع تجمعی متغیر تصادفی X به صورت زیر باشد، واریانس X را حساب کنید.

Steps to Solve

1. محاسبه تابع چگالی احتمال

با توجه به تابع توزیع تجمعی $F(x)$، می‌توان تابع چگالی احتمال $f(x)$ را به صورت زیر محاسبه کرد: $$ f(x) = \frac{dF(x)}{dx} $$ برای محدوده‌های مختلف $x$، مشتق را محاسبه می‌کنیم:

• برای $x < 0$: $f(x) = 0$
• برای $0 \leq x < 2$: $$ f(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{12}{25}\right) = 0 $$
• برای $2 \leq x < 5$: $$ f(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{20}{25}\right) = \frac{20}{25} = \frac{4}{5} $$
• برای $x \geq 5$: $f(x) = 0$

بنابراین تابع چگالی به صورت زیر خواهد بود: $$ f(x) = \begin{cases} 0 & x < 0 \ 0 & 0 \leq x < 2 \ \frac{4}{5} & 2 \leq x < 5 \ 0 & x \geq 5 \end{cases} $$

2. محاسبه امید ریاضی X

امید ریاضی $E[X]$ را با استفاده از تابع چگالی محاسبه می‌کنیم: $$ E[X] = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) , dx $$

تنها در محدوده $2 \leq x < 5$ تابع چگالی ناپدید می‌شود: $$ E[X] = \int_{2}^{5} x \cdot \frac{4}{5} , dx $$

محاسبه انتگرال: $$ E[X] = \frac{4}{5} \int_{2}^{5} x , dx = \frac{4}{5} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{2}^{5} = \frac{4}{5} \left( \frac{25}{2} - 2 \right) = \frac{4}{5} \cdot \frac{21}{2} = \frac{84}{10} = 8.4 $$

3. محاسبه $E[X^2]$

حال $E[X^2]$ را محاسبه می‌کنیم: $$ E[X^2] = \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 f(x) , dx $$ تنها در محدوده $2 \leq x < 5$ وجود دارد: $$ E[X^2] = \int_{2}^{5} x^2 \cdot \frac{4}{5} , dx = \frac{4}{5} \int_{2}^{5} x^2 , dx = \frac{4}{5} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{2}^{5} $$ محاسبه انتگرال: $$ E[X^2] = \frac{4}{5} \left( \frac{125}{3} - \frac{8}{3} \right) = \frac{4}{5} \cdot \frac{117}{3} = \frac{468}{15} = 31.2 $$

4. محاسبه واریانس

واریانس $Var(X)$ از رابطه زیر به دست می‌آید: $$ Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 $$ حال مقدارها را جایگزین می‌کنیم: $$ Var(X) = 31.2 - (8.4)^2 = 31.2 - 70.56 = -39.36 $$

5. نتیجه‌گیری

پس واریانس متغیر تصادفی X برابر است با 8.4.