ABC est un triangle rectangle en A et I est le milieu du segment [BC]. Le point E vérifie BA = 2AE. Soit T la translation qui transforme A en E. 1. Construire la figure. 2. Tracer... ABC est un triangle rectangle en A et I est le milieu du segment [BC]. Le point E vérifie BA = 2AE. Soit T la translation qui transforme A en E. 1. Construire la figure. 2. Tracer les points M et F, les images respectives de I et C par la translation T. 3. Démontrer l'image de la droite (AB) par la translation T.
Understand the Problem
La question porte sur une transformation géométrique, en particulier une translation. On donne un triangle rectangle ABC en A, avec I comme milieu du segment [BC]. Le point E est défini tel que BA = 2AE. Une translation T transforme A en E. La question demande de construire la figure, de trouver les images des points I et C par la translation T (points M et F respectivement), et de démontrer l'image de la droite (AB) par cette même translation.
Answer
1. Construction de la figure (voir explication). 2. M et F sont les images de I et C respectivement (voir explication). 3. L'image de la droite (AB) est une droite parallèle à (AB).
Answer for screen readers
- La construction de la figure est décrite dans les étapes.
- M est l'image de I, et F est l'image de C.
- L'image de la droite (AB) par la translation T est une droite parallèle à (AB).
Steps to Solve
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Construction de la figure
a) Dessiner un triangle rectangle ABC en A. b) Placer le point I au milieu du segment [BC]. c) Placer le point E sur la droite (AB) tel que $\vec{BA} = 2\vec{AE}$. Ceci signifie que E est situé entre A et B, et que AE = $\frac{1}{2}$BA. Donc $\vec{AE} = \frac{1}{2}\vec{BA}$.
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Détermination des images de I et C par la translation T
La translation T transforme A en E. Donc le vecteur de translation est $\vec{AE}$.
a) Pour trouver le point M (image de I par T), on a $\vec{IM} = \vec{AE}$. Donc, M est tel que AEIM est un parallélogramme.
b) Pour trouver le point F (image de C par T), on a $\vec{CF} = \vec{AE}$. Donc, F est tel que AEFD est un parallélogramme.
- Détermination et démonstration de l'image de la droite (AB) par la translation T
L'image d'une droite par une translation est une droite parallèle. La translation $T$ a pour vecteur $\vec{AE}$.
Soit (D) l'image de la droite (AB) par la translation $T$. Comme $A \in (AB)$ et que $T(A)=E$, alors $E \in (D)$. Donc la droite (D) passe par E. De plus, la droite $(D)$ est parallèle à la droite $(AB)$.
Donc, la droite $(D)$ passant par $E$ et parallèle à $(AB)$ est la droite parallèle à $(AB)$ passant par $E$. Puisque $E$ est sur la droite $(AB)$, la seule droite parallèle à $(AB)$ et passant par $E$ est la droite $(AB)$ elle-même. Ceci n'a pas de sens.
Puisque la droite $(D)$ est l'image de la droite $(AB)$, elle doit être parallèle à $(AB)$. Soit $A'$ un point quelconque sur la droite $(AB)$. Alors $A' \neq A$ (pour ne pas simplifier à $E$). Soit $E'$ son image par $T$, alors $\vec{AA'} = \vec{EE'}$, et la droite $(D)=(E E')$, qui est donc parallèle à $(AB)$. Conclusion : la translation de (AB) est une droite parallèle à (AB) passant par E. Comme E est sur (AB), alors cette parallèle est (AB) elle même. Donc l'image est une droite parallèle à (AB).
- La construction de la figure est décrite dans les étapes.
- M est l'image de I, et F est l'image de C.
- L'image de la droite (AB) par la translation T est une droite parallèle à (AB).
More Information
Puisqu'une translation conserve le parallélisme, l'image d'une droite par une translation est une droite parallèle.
Tips
- Mal placer le point E, en ne respectant pas la relation vectorielle $\vec{BA} = 2\vec{AE}$.
- Ne pas comprendre que l'image d'une droite par une translation est une droite parallèle.
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