À partir de quelle valeur β le salaire moyen de l'entreprise A est-il supérieur à l'entreprise B ?
Understand the Problem
La question demande de déterminer à partir de quelle valeur de β le salaire moyen de l'entreprise A devient supérieur à celui de l'entreprise B, en utilisant les informations fournies sur les salaires et l'effectif des deux entreprises.
Answer
\(\beta > \frac{4000 \alpha + 1000}{3000}\)
Answer for screen readers
La valeur minimale de ( \beta ) pour que le salaire moyen de l'entreprise A soit supérieur à celui de l'entreprise B est :
[ \beta > \frac{4000 \alpha + 1000}{3000} ]
Steps to Solve
- Calculer le salaire moyen de l'entreprise A
Pour l'entreprise A, le salaire moyen ( S_A ) est donné par la formule qui tient compte des employés et des cadres :
[ S_A = \frac{(4000 , \text{frs} \cdot \alpha N) + (8000 , \text{frs} \cdot (1 - \alpha) N)}{N} ]
En simplifiant, on obtient :
[ S_A = 4000 \alpha + 8000 (1 - \alpha) ]
- Calculer le salaire moyen de l'entreprise B
Pour l'entreprise B, le salaire moyen ( S_B ) se calcule de manière similaire :
[ S_B = \frac{(6000 , \text{frs} \cdot \beta N) + (9000 , \text{frs} \cdot (1 - \beta) N)}{N} ]
En simplifiant, cela devient :
[ S_B = 6000 \beta + 9000 (1 - \beta) ]
- Comparer les salaires moyens
Nous voulons trouver à partir de quelle valeur de ( \beta ) le salaire moyen de l'entreprise A devient supérieur à celui de B, soit ( S_A > S_B ). Cela nous donne :
[ 4000 \alpha + 8000 (1 - \alpha) > 6000 \beta + 9000 (1 - \beta) ]
- Simplifier l'inégalité
Pour simplifier, commençons par écrire l'inégalité :
[ 4000 \alpha + 8000 - 8000 \alpha > 6000 \beta + 9000 - 9000 \beta ]
Cela se simplifie en :
[ -4000 \alpha + 8000 > -3000 \beta + 9000 ]
- Réorganiser l'inégalité
Regroupons ces termes :
[ -4000 \alpha + 3000\beta > 1000 ]
En multipliant toute l'inégalité par -1 et en inversant le sens :
[ 4000 \alpha - 3000\beta < -1000 ]
- Isoler ( \beta )
Dernièrement, isolons ( \beta ) :
[ 3000 \beta > 4000 \alpha + 1000 ]
D'où :
[ \beta > \frac{4000 \alpha + 1000}{3000} ]
La valeur minimale de ( \beta ) pour que le salaire moyen de l'entreprise A soit supérieur à celui de l'entreprise B est :
[ \beta > \frac{4000 \alpha + 1000}{3000} ]
More Information
Cette équation indique que le salaire moyen dépend de la proportion de travailleurs (employés et cadres) dans chaque entreprise. Plus la proportion d'employés dans l'entreprise A augmente (valeur de ( \alpha )), plus le seuil pour ( \beta ) diminue, ce qui signifie qu'il est plus facile pour A de surpasser B en termes de salaire moyen.
Tips
- Confondre les coefficients et oublier de multiplier par ( N ) lors du calcul des salaires moyens.
- Ne pas inverser le sens de l'inégalité en multipliant par un nombre négatif.
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