A integral \( \int_{1}^{2} \frac{dx}{x \sqrt{4 - x^2}} \) converge e seu valor é:
Understand the Problem
A pergunta está solicitando a resolução da integral definida de uma função específica e a escolha da opção correta entre as alternativas apresentadas.
Answer
$$ \frac{1}{2} \ln(2 + \sqrt{3}) $$
Answer for screen readers
A integral converge e seu valor é: $$ \frac{1}{2} \ln(2 + \sqrt{3}) $$
Steps to Solve
- Identificação da integral
Identificamos a integral a ser resolvida: $$ I = \int_{1}^{2} \frac{dx}{x \sqrt{4 - x^2}} $$
- Substituição trigonométrica
Para resolver a integral, podemos usar a substituição trigonométrica. Definimos $x = 2\sin(\theta)$. Assim, $dx = 2\cos(\theta)d\theta$ e a raiz se torna: $$ \sqrt{4 - x^2} = \sqrt{4 - 4\sin^2(\theta)} = 2\cos(\theta) $$
- Mudança nos limites de integração
Quando $x = 1$, $\sin(\theta) = \frac{1}{2}$, então $\theta = \frac{\pi}{6}$. Quando $x = 2$, $\sin(\theta) = 1$, então $\theta = \frac{\pi}{2}$.
- Reescrevendo a integral
Substituindo na integral, obtemos: $$ I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2\cos(\theta)d\theta}{2\sin(\theta) \cdot 2\cos(\theta)} = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sin(\theta)} $$
- Integral do seno
A integral de $\frac{1}{\sin(\theta)}$ é: $$ I = \int \csc(\theta) d\theta = -\ln(\csc(\theta) + \cot(\theta)) + C $$
- Substituição dos limites
Calculamos os limites: $$ I = \left[-\ln(\csc\left(\frac{\pi}{2}\right) + \cot\left(\frac{\pi}{2}\right)) + \ln(\csc\left(\frac{\pi}{6}\right) + \cot\left(\frac{\pi}{6}\right))\right] $$
Sabemos que $\csc\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$ e $\cot\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$, então: $$ = 0 + \ln\left(2 + \sqrt{3}\right) $$
De $\csc\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2$ e $\cot\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}$: $$ I = 0 + \ln(2 + \sqrt{3}) $$
- Resultado final
Sabendo que a integral converge, temos que: $$ I = \ln(2 + \sqrt{3}) $$
Então, finalizamos a integral e obtemos a resposta.
A integral converge e seu valor é: $$ \frac{1}{2} \ln(2 + \sqrt{3}) $$
More Information
A integral foi resolvida utilizando a técnica de substituição trigonométrica, que é um método comum para simplificar integrais envolvendo expressões que se assemelham a raízes quadradas. O resultado envolve um logaritmo natural que é frequentemente encontrado em cálculos de integrais.
Tips
- Esquecer a alteração nos limites de integração: É importante sempre lembrar de ajustar os limites quando usamos substituições.
- Erro na simplificação após a substituição: Verifique sempre cada passo após a substituição para evitar erros de cálculo.
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