A integral ∫2^∞ dx / (x^4√(x^2) - 1) converge e seu valor é:

Steps to Solve

1. Identificação da integral A integral a ser avaliada é:

$$ \int_{2}^{\infty} \frac{dx}{x^4 \sqrt{x^2} - 1} $$

2. Simplificação da função integranda Podemos simplificar a função integranda:

$$ \sqrt{x^2} = x $$

Assim, a integral fica:

$$ \int_{2}^{\infty} \frac{dx}{x^4 x - 1} = \int_{2}^{\infty} \frac{dx}{x^5 - 1} $$

3. Análise da convergência para determinar se a integral converge, analisamos o comportamento de

$$ \frac{1}{x^5 - 1} $$

para grandes valores de $x$. Para $x \to \infty$, temos

$$ \frac{1}{x^5 - 1} \sim \frac{1}{x^5} $$

Se a compararmos com a integral de $\frac{1}{x^5}$, sabemos que:

$$ \int \frac{1}{x^5} dx $$

converge, pois $p = 5 > 1$.

4. Cálculo da integral definida Agora, vamos calcular a integral:

$$ \int \frac{dx}{x^5 - 1} $$

Usamos a técnica da decomposição em frações parciais se necessário, mas podemos avaliar diretamente os limites:

$$ \int \frac{dx}{x^5 - 1} = \left[ -\frac{1}{4 x^4} \right]_{2}^{\infty} $$

5. Aplicação dos limites Calculamos o limite superior e inferior:

• Para $x \to \infty$,

$$ -\frac{1}{4 x^4} \to 0 $$

• Para $x = 2$:

$$ -\frac{1}{4 (2^4)} = -\frac{1}{64} $$

Assim, a integral converge e seu valor é:

$$ 0 - \left(-\frac{1}{64}\right) = \frac{1}{64} $$

6. Verificação das opções O resultado da integral computed está em forma diferente das alternativas. Para encontrar uma opção correspondente à $\frac{1}{64}$, é necessário fazer a correspondência entre as frações dadas nas opções.