5/3 જેટલો વક્રીભવનાંક ધરાવતી પાણીની સપાટી પર વર્તુળાકાર તકતીને મૂકવામાં આવી છે. પાણીની સપાટીની નીચે 4 m ઊંડાઈએ પ્રકાશ ઉદ્ગમ રાખવામાં આવેલ છે. પાણીમાંથી પ્રકાશ બહાર ન આવી શકે તે માટ... 5/3 જેટલો વક્રીભવનાંક ધરાવતી પાણીની સપાટી પર વર્તુળાકાર તકતીને મૂકવામાં આવી છે. પાણીની સપાટીની નીચે 4 m ઊંડાઈએ પ્રકાશ ઉદ્ગમ રાખવામાં આવેલ છે. પાણીમાંથી પ્રકાશ બહાર ન આવી શકે તે માટે જરૂરી તકતીની લઘુતમ ત્રિજ્યા કેટલી હશે? Read more

Steps to Solve

1. ક્રિટિકલ એન્ગલની ગણતરી કરો ક્રિટિકલ એન્ગલ $ \theta_c $ એવો એન્ગલ છે જેનાથી વધારે એન્ગલ પર પ્રકાશનું કિરણ પાણીમાંથી હવામાં બહાર નીકળ્યા વગર પાછું પાણીમાં પરાવર્તિત થઈ જાય છે. આ એન્ગલ શોધવા માટે સ્નેલના નિયમનો ઉપયોગ થાય છે: $$ n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2) $$ જ્યાં $ n_1 $ એ પાણીનો વક્રીભવનાંક છે ($ \frac{5}{3} $), $ \theta_1 $ એ ક્રિટિકલ એન્ગલ $ \theta_c $ છે, $ n_2 $ એ હવાનો વક્રીભવનાંક છે (1), અને $ \theta_2 $ એ 90 ડિગ્રી છે કારણ કે પ્રકાશ હવાની સપાટીને સમાંતર નીકળે છે. આથી, $$ \frac{5}{3} \sin(\theta_c) = 1 \cdot \sin(90^\circ) $$ $$ \sin(\theta_c) = \frac{3}{5} $$

2. ત્રિજ્યાની ગણતરી કરો હવે, ત્રિજ્યા $ r $ શોધવા માટે, આપણે એક કાટકોણ ત્રિકોણનો ઉપયોગ કરીશું. આ ત્રિકોણમાં, પાણીની સપાટીથી પ્રકાશના સ્ત્રોતની ઊંડાઈ (4 મીટર) એક બાજુ છે, ત્રિજ્યા $ r $ બીજી બાજુ છે, અને ક્રિટિકલ એન્ગલ $ \theta_c $ એ ઊંડાઈ અને ત્રિજ્યા વચ્ચેનો એન્ગલ છે. આથી: $$ \tan(\theta_c) = \frac{r}{4} $$ આપણે જાણીએ છીએ કે $ \sin(\theta_c) = \frac{3}{5} $. તેથી, આપણે $ \cos(\theta_c) $ શોધી શકીએ છીએ: $$ \cos(\theta_c) = \sqrt{1 - \sin^2(\theta_c)} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} $$ હવે, $ \tan(\theta_c) $ શોધીએ: $$ \tan(\theta_c) = \frac{\sin(\theta_c)}{\cos(\theta_c)} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{4} $$ હવે આપણે ત્રિજ્યા શોધી શકીએ: $$ r = 4 \tan(\theta_c) = 4 \cdot \frac{3}{4} = 3 $$