દ્વિઘાત બહુપદી 4s² - 4s + 1 નાં શૂન્યો શોધો અને તેના શૂન્યો અને સહગુણકો વચ્ચેનો સંબંધ ચકાસો. જેના શૂન્યોનો સરવાળો √5 અને ગુણાકાર 3/4 થાય તેવી દ્વિઘાત બહુપદી મેળવો. દ્વિઘાત સમીકરણ 6... દ્વિઘાત બહુપદી 4s² - 4s + 1 નાં શૂન્યો શોધો અને તેના શૂન્યો અને સહગુણકો વચ્ચેનો સંબંધ ચકાસો. જેના શૂન્યોનો સરવાળો √5 અને ગુણાકાર 3/4 થાય તેવી દ્વિઘાત બહુપદી મેળવો. દ્વિઘાત સમીકરણ 6x² - x - 2 = 0 નાં બીજ શોધો. ચકાસો કે, 301 એ 5, 11, 17, 23, ... સંખ્યાની યાદીનું કોઈ પદ છે કે નહીં? સમાંતર શ્રેણી -37, -33, -29, ... નાં 12 પદો સુધીનો સરવાળો શોધો. બિંદુઓ (a, b) અને (-a, -b) વચ્ચેનું અંતર શોધો. બિંદુઓ (4, -3) અને (8, 5) ને જોડતા રેખાખંડનું 3:1 ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરતાં બિંદુના યામ શોધો. થાંભલાની ટોચથી લાંબા દોરડા પર એ જમીન સાથે 30 અંશના ખૂણે બાંધેલ છે તો થાંભલાની ઊંચાઈ શોધો અર્ધગોલકની ઉપર છે. તે બંનેની ઊંચાઈ 12.5 સેમી છે. એક તંબુ નીચે નળાકાર ભાગનો છે. નળાકાર પર તંબુમાં રહેલી હવા શોધો. Read more

Steps to Solve

25. દ્વિઘાત બહુપદીના શૂન્યો શોધો અને સંબંધ ચકાસો

આ સમીકરણ $4s^2 - 4s + 1 = 0$ને ઉકેલવા માટે, આપણે તેને અવયવો પાડવા અથવા દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરવો પડશે:

$4s^2 - 4s + 1 = (2s - 1)^2 = 0$

તેથી, $s = \frac{1}{2}$ એ પુનરાવર્તિત શૂન્ય છે.

હવે, આપણે શૂન્યો અને સહગુણકો વચ્ચેનો સંબંધ ચકાસીએ. દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે, શૂન્યોનો સરવાળો $-\frac{b}{a}$ છે અને ગુણાકાર $\frac{c}{a}$ છે.

આ કિસ્સામાં, સરવાળો $\frac{-(-4)}{4} = 1$ છે અને ગુણાકાર $\frac{1}{4}$ છે. આપણી પાસે ફક્ત એક જ શૂન્ય $\frac{1}{2}$ હોવાથી, સરવાળો $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ થાય છે અને ગુણાકાર $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ થાય છે, જે સંબંધને ચકાસે છે.

26. દ્વિઘાત બહુપદી મેળવો જો શૂન્યોનો સરવાળો $\sqrt{5}$ અને ગુણાકાર $\frac{3}{4}$ હોય, તો દ્વિઘાત બહુપદી આ રીતે શોધી શકાય: $x^2 - (\text{શૂન્યોનો સરવાળો})x + (\text{શૂન્યોનો ગુણાકાર}) = 0$ $x^2 - \sqrt{5}x + \frac{3}{4} = 0$ આને વધુ સરળ બનાવવા માટે, આપણે 4 વડે ગુણાકાર કરી શકીએ: $4x^2 - 4\sqrt{5}x + 3 = 0$

27. દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ શોધો

આપણે દ્વિઘાત સમીકરણ $6x^2 - x - 2 = 0$ ના બીજ શોધવાના છે. આપણે તેને અવયવો પાડીને અથવા દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકીએ છીએ. ચાલો અવયવો પાડવાનો પ્રયાસ કરીએ:

$6x^2 - x - 2 = (2x + 1)(3x - 2) = 0$ તેથી, $x = -\frac{1}{2}$ અથવા $x = \frac{2}{3}$.

28. સમાંતર શ્રેણીનું પદ છે કે નહીં તે ચકાસો

આપણે ચકાસવાનું છે કે 301 એ સમાંતર શ્રેણી 5, 11, 17, 23, ... નું પદ છે કે નહીં. સમાંતર શ્રેણીનું સામાન્ય સ્વરૂપ $a_n = a_1 + (n - 1)d$ છે, જ્યાં $a_1$ પ્રથમ પદ છે, $d$ સામાન્ય તફાવત છે, અને $n$ પદની સંખ્યા છે. આ શ્રેણીમાં, $a_1 = 5$ અને $d = 11 - 5 = 6$.

હવે, આપણે તપાસીએ કે કોઈ પૂર્ણાંક $n$ માટે $301 = 5 + (n - 1)6$ થાય છે કે નહીં: $301 = 5 + 6n - 6$ $301 = 6n - 1$ $302 = 6n$ $n = \frac{302}{6} = \frac{151}{3}$ $n$ પૂર્ણાંક ન હોવાથી, 301 એ આ સમાંતર શ્રેણીનું પદ નથી.

29. સમાંતર શ્રેણીનો સરવાળો શોધો

આપણે સમાંતર શ્રેણી -37, -33, -29, ... નાં 12 પદો સુધીનો સરવાળો શોધવાનો છે. સમાંતર શ્રેણીના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d]$ છે. આ શ્રેણીમાં, $a_1 = -37$, $d = -33 - (-37) = 4$, અને $n = 12$. $S_{12} = \frac{12}{2}[2(-37) + (12 - 1)4]$ $S_{12} = 6[-74 + 44]$ $S_{12} = 6[-30]$ $S_{12} = -180$

30. બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર શોધો

બિંદુઓ (a, b) અને (-a, -b) વચ્ચેનું અંતર શોધવા માટે, આપણે અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ $d = \sqrt{(-a - a)^2 + (-b - b)^2}$ $d = \sqrt{(-2a)^2 + (-2b)^2}$ $d = \sqrt{4a^2 + 4b^2}$ $d = \sqrt{4(a^2 + b^2)}$ $d = 2\sqrt{a^2 + b^2}$