2/7, 3/7, 4/7, 5/7, 6/7 के दशमलव प्रसार क्या हैं? निम्नलिखित को p/q के रूप में व्यक्त कीजिए: 0.6 (बार), 0.47(बार), 0.001(बार), 0.99999 को p/q के रूप में व्यक्त कीजिए। 1/17 के दशमलव... 2/7, 3/7, 4/7, 5/7, 6/7 के दशमलव प्रसार क्या हैं? निम्नलिखित को p/q के रूप में व्यक्त कीजिए: 0.6 (बार), 0.47(बार), 0.001(बार), 0.99999 को p/q के रूप में व्यक्त कीजिए। 1/17 के दशमलव प्रसार में अंकों के पुनरावृत्ति खंड में अंकों की अधिकतम संख्या क्या हो सकती है? p/q रूप की परिमेय संख्याओं (q≠0) के उदाहरण दीजिए। ऐसी तीन संख्याएँ लिखिए जिनके दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती हों। 5/7 और 9/11 के बीच की तीन अलग-अलग अपरिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए। बताइए कि निम्नलिखित संख्याओं में कौन-कौन संख्याएँ परिमेय और कौन-कौन संख्या अपरिमेय हैं: √23, √225, 0.3796, 7.478478..., 1.101001000100001...

Understand the Problem

यह प्रश्न वास्तविक संख्याओं के साथ काम करने और परिमेय और अपरिमेय संख्याओं के बीच अंतर को समझने से संबंधित है। इसमें संख्याओं को p/q के रूप में व्यक्त करना, दशमलव विस्तार को खोजना, और परिमेय तथा अपरिमेय संख्याओं की पहचान करना शामिल है।

यहां प्रश्न इस प्रकार हैं:

2/7, 3/7, 4/7, 5/7, 6/7 के दशमलव विस्तार क्या हैं?
निम्नलिखित को p/q के रूप में व्यक्त कीजिए: 0.6 (बार), 0.47(बार), 0.001(बार)
0.99999 को p/q के रूप में व्यक्त कीजिए
1/17 के दशमलव प्रसार में अंकों के पुनरावृत्ति खंड में अंकों की अधिकतम संख्या क्या हो सकती है?
p/q रूप की परिमेय संख्याओं (q≠0) के उदाहरण दीजिए
ऐसी तीन संख्याएँ लिखिए जिनके दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती हों।
5/7 और 9/11 के बीच की तीन अलग-अलग अपरिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए
बताइये कि निम्नलिखित संख्याओं में कौन-कौन संख्याएँ परिमेय और कौन-कौन संख्या अपरिमेय हैं: √23, √225, 0.3796, 7.478478..., 1.101001000100001...

Answer

1. $2/7 = 0.\overline{285714}$, $3/7 = 0.\overline{428571}$, $4/7 = 0.\overline{571428}$, $5/7 = 0.\overline{714285}$, $6/7 = 0.\overline{857142}$ 2. (i) $2/3$ (ii) $43/90$ (iii) $1/999$ 3. $1$ 4. $16$ 5. उदाहरण: $1/2, 1/4, 1/5, 1/8$. $q$ को $2^n \times 5^m$ के रूप में होना चाहिए। 6. उदाहरण: $0.101001000100001..., 0.202002000200002..., \pi$ 7. उदाहरण: $0.75075007500075..., 0.76076007600076..., 0.77077007700077...$ 8. (i) अपरिमेय (ii) परिमेय (iii) परिमेय (iv) परिमेय (v) अपरिमेय

Steps to Solve

भिन्न 2/7, 3/7, 4/7, 5/7, और 6/7 के दशमलव प्रसार ज्ञात करें।

हम जानते हैं कि $1/7 = 0.\overline{142857}$ होता है। अब इसी जानकारी का उपयोग करके अन्य भिन्नो का मान निकालेंगे $2/7 = 2 \times (1/7) = 2 \times 0.\overline{142857} = 0.\overline{285714}$ $3/7 = 3 \times (1/7) = 3 \times 0.\overline{142857} = 0.\overline{428571}$ $4/7 = 4 \times (1/7) = 4 \times 0.\overline{142857} = 0.\overline{571428}$ $5/7 = 5 \times (1/7) = 5 \times 0.\overline{142857} = 0.\overline{714285}$ $6/7 = 6 \times (1/7) = 6 \times 0.\overline{142857} = 0.\overline{857142}$

$0.\overline{6}$ को $p/q$ के रूप में व्यक्त करें।

माना $x = 0.\overline{6}$ तो, $10x = 6.\overline{6}$ अब, $10x - x = 6.\overline{6} - 0.\overline{6}$ $9x = 6$ $x = 6/9 = 2/3$

$0.4\overline{7}$ को $p/q$ के रूप में व्यक्त करें।

माना $x = 0.4\overline{7}$ तो, $10x = 4.\overline{7}$ अब, $100x = 47.\overline{7}$ अब, $100x - 10x = 47.\overline{7} - 4.\overline{7}$ $90x = 43$ $x = 43/90$

$0.\overline{001}$ को $p/q$ के रूप में व्यक्त करें।

माना $x = 0.\overline{001}$ तो, $1000x = 1.\overline{001}$ अब, $1000x - x = 1.\overline{001} - 0.\overline{001}$ $999x = 1$ $x = 1/999$

$0.99999...$ को $p/q$ के रूप में व्यक्त करें।

माना $x = 0.99999... = 0.\overline{9}$ तो, $10x = 9.99999... = 9.\overline{9}$ अब, $10x - x = 9.\overline{9} - 0.\overline{9}$ $9x = 9$ $x = 9/9 = 1$

1/17 के दशमलव प्रसार में अंकों के पुनरावृत्ति खंड में अंकों की अधिकतम संख्या क्या हो सकती है?

किसी भी भिन्न $p/q$ में, दशमलव प्रसार में अंको की अधिकतम संख्या $(q-1)$ हो सकती है, इसलिए $1/17$ में अंको की अधिकतम संख्या $(17-1) = 16$ हो सकती है। $1/17 = 0.\overline{0588235294117647}$

$p/q$ ($q ≠ 0$) के रूप की परिमेय संख्याओं के अनेक उदाहरण लीजिए, जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं, जिनका 1 के अतिरिक्त अन्य कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है और जिसका सांत दशमलव निरूपण (प्रसार) है।

कुछ उदाहरण हैं: $1/2 = 0.5$ $1/4 = 0.25$ $1/5 = 0.2$ $1/8 = 0.125$ इन सभी उदाहरणों में, $q$ का अभाज्य गुणनखंड 2 या 5 या दोनों है।

इसलिए, $q$ को $2^n \times 5^m$ के रूप का होना चाहिए, जहाँ $n$ और $m$ गैर-नकारात्मक पूर्णांक हैं।

ऐसी तीन संख्याएँ लिखिए जिनके दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती हों।

ऐसी तीन संख्याएँ जिनके दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती हों: $0.101001000100001...$ $0.202002000200002...$ $\pi = 3.141592653589793238...$

परिमेय संख्याओं $5/7$ और $9/11$ के बीच की तीन अलग-अलग अपरिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

$5/7 = 0.\overline{714285}$ और $9/11 = 0.\overline{81}$ इन दोनों के बीच की तीन अपरिमेय संख्याएँ: $0.75075007500075...$ $0.76076007600076...$ $0.77077007700077...$

बताइए कि निम्नलिखित संख्याओं में कौन-कौन संख्याएँ परिमेय और कौन-कौन संख्या अपरिमेय हैं:
- (i) $\sqrt{23}$
- (ii) $\sqrt{225}$
- (iii) $0.3796$
- (iv) $7.478478...$
- (v) $1.101001000100001...$

(i) $\sqrt{23}$ अपरिमेय है क्योंकि 23 पूर्ण वर्ग नहीं है। (ii) $\sqrt{225} = 15$ परिमेय है क्योंकि 225 पूर्ण वर्ग है। (iii) $0.3796$ परिमेय है क्योंकि यह एक सांत दशमलव है। (iv) $7.478478...$ परिमेय है क्योंकि यह एक अनवसानी आवर्ती दशमलव है। (v) $1.101001000100001...$ अपरिमेय है क्योंकि यह अनवसानी अनावर्ती दशमलव है।

$2/7 = 0.\overline{285714}$, $3/7 = 0.\overline{428571}$, $4/7 = 0.\overline{571428}$, $5/7 = 0.\overline{714285}$, $6/7 = 0.\overline{857142}$
(i) $2/3$ (ii) $43/90$ (iii) $1/999$
$1$
$16$ अंक
उदाहरण: $1/2, 1/4, 1/5, 1/8$. $q$ को $2^n \times 5^m$ के रूप में होना चाहिए।
उदाहरण: $0.101001000100001..., 0.202002000200002..., \pi$
उदाहरण: $0.75075007500075..., 0.76076007600076..., 0.77077007700077...$
(i) अपरिमेय (ii) परिमेय (iii) परिमेय (iv) परिमेय (v) अपरिमेय

More Information

परिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिन्हें $p/q$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q ≠ 0$ है। उनके दशमलव प्रसार या तो सांत होते हैं या अनवसानी आवर्ती होते हैं। अपरिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिन्हें $p/q$ के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है और उनके दशमलव प्रसार अनवसानी अनावर्ती होते हैं।

Tips

दशमलव प्रसार को ठीक से न समझना।
परिमेय और अपरिमेय संख्याओं की परिभाषाओं को भ्रमित करना।
अनवसानी आवर्ती दशमलव और अनवसानी अनावर्ती दशमलव के बीच अंतर करने में गलती करना।

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