จงหาขนาดของมุมระหว่างเวกเตอร์ต่อไปนี้ 1) u = 3i + 2j และ v = 9i + 6j 2) u = 3i + j และ v = -2i + 6j 3) u = 2i + j - k และ v = i + 2j + 4k 4) u = i - 2j - k และ v = -i + j + 4k จงหาขนาดของมุมระหว่างเวกเตอร์ต่อไปนี้ 1) u = 3i + 2j และ v = 9i + 6j 2) u = 3i + j และ v = -2i + 6j 3) u = 2i + j - k และ v = i + 2j + 4k 4) u = i - 2j - k และ v = -i + j + 4k Read more

Steps to Solve

1. สูตรมุมระหว่างเวกเตอร์

มุม $ \theta $ ระหว่างเวกเตอร์ $u$ และ $v$ หาได้จากสูตร: $$ \cos \theta = \frac{u \cdot v}{||u|| \cdot ||v||} $$ โดยที่ $ u \cdot v $ คือผลคูณจุด (dot product) ของ $u$ และ $v$, $||u||$ คือขนาด (norm หรือ magnitude) ของ $u$, และ $||v||$ คือขนาดของ $v$.

2. ข้อ 1: $u = 3i + 2j$ และ $v = 9i + 6j$

   • หาผลคูณจุด: $u \cdot v = (3)(9) + (2)(6) = 27 + 12 = 39$

   • หาขนาดของ $u$: $||u|| = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$

   • หาขนาดของ $v$: $||v|| = \sqrt{9^2 + 6^2} = \sqrt{81 + 36} = \sqrt{117} = \sqrt{9 \cdot 13} = 3\sqrt{13}$

   • คำนวณ $\cos \theta$: $\cos \theta = \frac{39}{\sqrt{13} \cdot 3\sqrt{13}} = \frac{39}{3 \cdot 13} = \frac{39}{39} = 1$

   • หามุม $\theta$: $\theta = \arccos(1) = 0^\circ$

3. ข้อ 2: $u = 3i + j$ และ $v = -2i + 6j$

   • หาผลคูณจุด: $u \cdot v = (3)(-2) + (1)(6) = -6 + 6 = 0$

   • คำนวณ $\cos \theta$: $\cos \theta = \frac{0}{||u|| \cdot ||v||} = 0$

   • หามุม $\theta$: $\theta = \arccos(0) = 90^\circ$

4. ข้อ 3: $u = 2i + j - k$ และ $v = i + 2j + 4k$

   • หาผลคูณจุด: $u \cdot v = (2)(1) + (1)(2) + (-1)(4) = 2 + 2 - 4 = 0$

   • คำนวณ $\cos \theta$: $\cos \theta = \frac{0}{||u|| \cdot ||v||} = 0$

   • หามุม $\theta$: $\theta = \arccos(0) = 90^\circ$

5. ข้อ 4: $u = i - 2j - k$ และ $v = -i + j + 4k$

   • หาผลคูณจุด: $u \cdot v = (1)(-1) + (-2)(1) + (-1)(4) = -1 - 2 - 4 = -7$

   • หาขนาดของ $u$: $||u|| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$

   • หาขนาดของ $v$: $||v|| = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2 + (4)^2} = \sqrt{1 + 1 + 16} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

   • คำนวณ $\cos \theta$: $\cos \theta = \frac{-7}{\sqrt{6} \cdot 3\sqrt{2}} = \frac{-7}{3\sqrt{12}} = \frac{-7}{3 \cdot 2\sqrt{3}} = \frac{-7}{6\sqrt{3}} = \frac{-7\sqrt{3}}{18}$

   • หามุม $\theta$: $\theta = \arccos\left(\frac{-7\sqrt{3}}{18}\right) \approx 127.79^\circ$