1. निम्न समीकरणों के युग्म को विलोपन विधि तथा प्रतिस्थापना विधि से हल कीजिए। कौन-सी विधि अधिक उपयुक्त है? (i) x+y=5 और 2x-3y=4 (ii) 3x + 4y = 10 और 2x-2y=2 (iii) 3x-5y-4=0 और 9x =... 1. निम्न समीकरणों के युग्म को विलोपन विधि तथा प्रतिस्थापना विधि से हल कीजिए। कौन-सी विधि अधिक उपयुक्त है? (i) x+y=5 और 2x-3y=4 (ii) 3x + 4y = 10 और 2x-2y=2 (iii) 3x-5y-4=0 और 9x = 2y +7 (iv) x/2 + 2y/3 = -1 और x - y/3 = 3 2. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका अस्तित्व हो) विलोपन विधि से ज्ञात कीजिए : (i) यदि हम अंश में 1 जोड़ दें तथा हर में से 1 घटा दें, तो भिन्न 1 में बदल जाती है। यदि हर में 1 जोड़ दें, तो यह 1/2 हो जाती है। वह भिन्न क्या है? (ii) पांच वर्ष पूर्व नूरी की आयु सोनू की आयु की तीन गुनी थी। दस वर्ष पश्चात्, नूरी की आयु सोनू की आयु की दो गुनी हो जाएगी। नूरी और सोनू की वर्तमान आयु कितनी है? Read more

Steps to Solve

1. प्रश्न 1(i) के लिए विलोपन विधि का उपयोग करना

दिए गए समीकरण हैं: $$ x + y = 5 \quad ...(1) $$ $$ 2x - 3y = 4 \quad ...(2) $$

समीकरण (1) को 2 से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है: $$ 2x + 2y = 10 \quad ...(3) $$

अब समीकरण (3) में से समीकरण (2) को घटाने पर: $$ (2x + 2y) - (2x - 3y) = 10 - 4 $$ $$ 5y = 6 $$ $$ y = \frac{6}{5} $$ $y$ का मान समीकरण (1) में रखने पर: $$ x + \frac{6}{5} = 5 $$ $$ x = 5 - \frac{6}{5} = \frac{25 - 6}{5} = \frac{19}{5} $$ अतः, $x = \frac{19}{5}$ और $y = \frac{6}{5}$

2. प्रश्न 1(i) के लिए प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करना

समीकरण (1) से $x$ का मान निकालने पर: $$ x = 5 - y \quad ...(4) $$

अब $x$ का मान समीकरण (2) में रखने पर: $$ 2(5 - y) - 3y = 4 $$ $$ 10 - 2y - 3y = 4 $$ $$ -5y = -6 $$ $$ y = \frac{6}{5} $$

$y$ का मान समीकरण (4) में रखने पर: $$ x = 5 - \frac{6}{5} = \frac{19}{5} $$ अतः, $x = \frac{19}{5}$ और $y = \frac{6}{5}$ इस प्रश्न के लिए, प्रतिस्थापन विधि अधिक उपयुक्त है क्योंकि इसमें कम गणनाएँ शामिल हैं।

3. प्रश्न 1(ii) के लिए विलोपन विधि का उपयोग करना

दिए गए समीकरण हैं: $$ 3x + 4y = 10 \quad ...(1) $$ $$ 2x - 2y = 2 \quad ...(2) $$ समीकरण (2) को 2 से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है: $$ 4x - 4y = 4 \quad ...(3) $$ अब समीकरण (1) और (3) को जोड़ने पर: $$ (3x + 4y) + (4x - 4y) = 10 + 4 $$ $$ 7x = 14 $$ $$ x = 2 $$ $x$ का मान समीकरण (2) में रखने पर: $$ 2(2) - 2y = 2 $$ $$ 4 - 2y = 2 $$ $$ -2y = -2 $$ $$ y = 1 $$ अतः, $x = 2$ और $y = 1$

4. प्रश्न 1(ii) के लिए प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करना

समीकरण (2) से $x$ का मान निकालने पर: $$ 2x = 2y + 2 $$ $$ x = y + 1 \quad ...(4) $$ अब $x$ का मान समीकरण (1) में रखने पर: $$ 3(y + 1) + 4y = 10 $$ $$ 3y + 3 + 4y = 10 $$ $$ 7y = 7 $$ $$ y = 1 $$ $y$ का मान समीकरण (4) में रखने पर: $$ x = 1 + 1 = 2 $$ अतः, $x = 2$ और $y = 1$ इस प्रश्न के लिए, दोनों विधियाँ लगभग समान रूप से उपयुक्त हैं।

5. प्रश्न 1(iii) के लिए विलोपन विधि का उपयोग करना दिए गए समीकरण हैं: $$ 3x - 5y - 4 = 0 \implies 3x - 5y = 4 \quad ...(1) $$ $$ 9x = 2y + 7 \implies 9x - 2y = 7 \quad ...(2) $$ समीकरण (1) को 3 से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है: $$ 9x - 15y = 12 \quad ...(3) $$ अब समीकरण (3) में से समीकरण (2) को घटाने पर: $$ (9x - 15y) - (9x - 2y) = 12 - 7 $$ $$ -13y = 5 $$ $$ y = -\frac{5}{13} $$ $y$ का मान समीकरण (1) में रखने पर: $$ 3x - 5(-\frac{5}{13}) = 4 $$ $$ 3x + \frac{25}{13} = 4 $$ $$ 3x = 4 - \frac{25}{13} = \frac{52 - 25}{13} = \frac{27}{13} $$ $$ x = \frac{9}{13} $$ अतः, $x = \frac{9}{13}$ और $y = -\frac{5}{13}$

6. प्रश्न 1(iii) के लिए प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करना

समीकरण (1) से $x$ का मान निकालने पर: $$ 3x = 5y + 4 $$ $$ x = \frac{5y + 4}{3} \quad ...(4) $$ अब $x$ का मान समीकरण (2) में रखने पर: $$ 9(\frac{5y + 4}{3}) - 2y = 7 $$ $$ 3(5y + 4) - 2y = 7 $$ $$ 15y + 12 - 2y = 7 $$ $$ 13y = -5 $$ $$ y = -\frac{5}{13} $$ $y$ का मान समीकरण (4) में रखने पर: $$ x = \frac{5(-\frac{5}{13}) + 4}{3} = \frac{-\frac{25}{13} + \frac{52}{13}}{3} = \frac{\frac{27}{13}}{3} = \frac{9}{13} $$ अतः, $x = \frac{9}{13}$ और $y = -\frac{5}{13}$ इस प्रश्न के लिए, दोनों विधियाँ लगभग समान रूप से उपयुक्त हैं।

7. प्रश्न 1(iv) के लिए विलोपन विधि का उपयोग करना दिए गए समीकरण हैं: $$ \frac{x}{2} + \frac{2y}{3} = -1 \implies 3x + 4y = -6 \quad ...(1) $$ $$ x - \frac{y}{3} = 3 \implies 3x - y = 9 \quad ...(2) $$ समीकरण (1) में से समीकरण (2) को घटाने पर: $$ (3x + 4y) - (3x - y) = -6 - 9 $$ $$ 5y = -15 $$ $$ y = -3 $$ $y$ का मान समीकरण (2) में रखने पर: $$ 3x - (-3) = 9 $$ $$ 3x + 3 = 9 $$ $$ 3x = 6 $$ $$ x = 2 $$ अतः, $x = 2$ और $y = -3$

8. प्रश्न 1(iv) के लिए प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करना

समीकरण (2) से $x$ का मान निकालने पर: $$ x = \frac{y}{3} + 3 \quad ...(4) $$ अब $x$ का मान समीकरण (1) में रखने पर: $$ \frac{(\frac{y}{3} + 3)}{2} + \frac{2y}{3} = -1 $$ $$ \frac{y}{6} + \frac{3}{2} + \frac{2y}{3} = -1 $$ $$ \frac{y + 9 + 4y}{6} = -1 $$ $$ 5y + 9 = -6 $$ $$ 5y = -15 $$ $$ y = -3 $$ $y$ का मान समीकरण (4) में रखने पर: $$ x = \frac{-3}{3} + 3 = -1 + 3 = 2 $$ अतः, $x = 2$ और $y = -3$ इस प्रश्न के लिए, दोनों विधियाँ लगभग समान रूप से उपयुक्त हैं।

9. प्रश्न 2(i) के लिए रैखिक समीकरणों के युग्म बनाना और विलोपन विधि से हल करना माना कि भिन्न $\frac{x}{y}$ है।

पहली शर्त के अनुसार: $$ \frac{x + 1}{y - 1} = 1 $$ $$ x + 1 = y - 1 $$ $$ x - y = -2 \quad ...(1) $$

दूसरी शर्त के अनुसार: $$ \frac{x}{y + 1} = \frac{1}{2} $$ $$ 2x = y + 1 $$ $$ 2x - y = 1 \quad ...(2) $$

समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर: $$ (2x - y) - (x - y) = 1 - (-2) $$ $$ x = 3 $$ $x$ का मान समीकरण (1) में रखने पर: $$ 3 - y = -2 $$ $$ y = 5 $$ अतः भिन्न $\frac{3}{5}$ है।

10. प्रश्न 2(ii) के लिए रैखिक समीकरणों के युग्म बनाना और विलोपन विधि से हल करना

माना कि नूरी की वर्तमान आयु $x$ वर्ष है और सोनू की वर्तमान आयु $y$ वर्ष है।

पांच वर्ष पूर्व: नूरी की आयु = $x - 5$ सोनू की आयु = $y - 5$ $$ x - 5 = 3(y - 5) $$ $$ x - 5 = 3y - 15 $$ $$ x - 3y = -10 \quad ...(1) $$

दस वर्ष पश्चात्: नूरी की आयु = $x + 10$ सोनू की आयु = $y + 10$ $$ x + 10 = 2(y + 10) $$ $$ x + 10 = 2y + 20 $$ $$ x - 2y = 10 \quad ...(2) $$

समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर: $$ (x - 2y) - (x - 3y) = 10 - (-10) $$ $$ y = 20 $$ $y$ का मान समीकरण (2) में रखने पर: $$ x - 2(20) = 10 $$ $$ x - 40 = 10 $$ $$ x = 50 $$ अतः, नूरी की वर्तमान आयु 50 वर्ष है और सोनू की वर्तमान आयु 20 वर्ष है।