Wellenoptik: Einführung in Huygens' Prinzip

Wellenoptik: Einführung

• Die Wellenoptik untersucht optische Phänomene, bei denen die Wellennatur des Lichts eine Rolle spielt.
• Wellencharakter des Lichts wird deutlich, wenn Lichtwellen mit Objekten interagieren, die etwa die gleiche Größe wie ihre Wellenlänge haben.

Huygens' Prinzip

• Nach dem Huygens'schen Prinzip dient jeder Punkt einer Wellenfront als Ausgangspunkt für kugelförmige Elementarwellen.
• Die neue Position der Wellenfront nach der Zeit t ist die Oberfläche, die diese Elementarwellen tangiert.
• Huygens'sche Konstruktion: Eine Methode zur Bestimmung der zukünftigen Position einer Wellenfront.

Das Brechungsgesetz

• Das Brechungsgesetz kann aus dem Huygens'schen Prinzip abgeleitet werden.
• Formel: $n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2$
• $n_1$ = Brechungsindex des Mediums 1
• $n_2$ = Brechungsindex des Mediums 2
• $\theta_1$ = Einfallswinkel
• $\theta_2$ = Brechungswinkel

Youngs Interferenzexperiment

• Youngs Doppelspaltexperiment: Es demonstriert die Interferenz von Lichtwellen und liefert so Beweise für die Wellennatur des Lichts.
• Bedingung für Maxima (konstruktive Interferenz): $d \sin\theta = m\lambda, \quad m = 0, 1, 2,...$
• Bedingung für Minima (destruktive Interferenz): $d \sin\theta = (m + \frac{1}{2})\lambda, \quad m = 0, 1, 2,...$
• d = Schlitzabstand
• $\lambda$ = Wellenlänge des Lichts
• m = Ordnungszahl

Intensität bei Doppelspaltinterferenz

• Die Intensität I an jedem Punkt auf dem Schirm ist: $I = I_0 \cos^2(\frac{\phi}{2})$
• $I_0$ = maximale Intensität
• $\phi$ = Phasendifferenz zwischen den Wellen

Interferenz in dünnen Schichten

• Interferenz kann auftreten, wenn Licht von den beiden Oberflächen eines dünnen Films reflektiert wird.
• Die Phasenänderung bei der Reflexion hängt von den Brechungsindizes der Medien ab.
• Phasenänderung bei Reflexion:
• Wenn Licht von einem Medium mit höherem Brechungsindex reflektiert wird, liegt eine Phasenänderung von 180° vor.
• Wenn Licht von einem Medium mit niedrigerem Brechungsindex reflektiert wird, erfolgt keine Phasenänderung.

Das Michelson-Interferometer

• Michelson-Interferometer: Ein Instrument, das Interferenz nutzt, um Abstände oder Wellenlängen mit großer Genauigkeit zu messen.

Beugung

• Beugung ist die Biegung von Wellen, wenn sie um Hindernisse oder durch enge Öffnungen passieren.
• Fraunhofer-Beugung: Sie tritt auf, wenn parallele Lichtstrahlen auf das beugende Objekt treffen.

Einzelspaltbeugung

• Bei der Einzelspaltbeugung lautet die Bedingung für das erste Minimum: $\sin\theta = \frac{\lambda}{a}$
• a = Breite des Spalts
• $\lambda$ = Wellenlänge des Lichts

Kreisblende

• Das erste Minimum im Beugungsmuster einer kreisförmigen Öffnung ist: $\sin\theta = 1.22 \frac{\lambda}{d}$
• d = Durchmesser der Apertur

Das Beugungsgitter

• Beugungsgitter: Es besteht aus einer großen Anzahl paralleler Schlitze.
• Die Bedingung für Maxima ist: $d \sin\theta = m\lambda, \quad m = 0, 1, 2,...$
• d = Abstand zwischen den Schlitzen
• m = Ordnungszahl

Beugung und Auflösung

• Rayleigh-Kriterium: Zwei Bilder sind gerade noch auflösbar, wenn das Zentrum des Beugungsmusters des einen direkt über dem ersten Minimum des Beugungsmusters des anderen liegt.

Holographie

• Holographie: Eine Technik zur Aufzeichnung und Rekonstruktion von Wellenfronten, wodurch dreidimensionale Bilder entstehen.

Abbildungen (Figuren)

• Figuren 25.1 bis 25.12 veranschaulichen Konzepte, Experimente und Schemata, die mit der Wellenoptik zusammenhängen, darunter Huygens' Prinzip, Brechung, Youngs Doppelspaltexperiment, Interferenz dünner Schichten, Michelson-Interferometer, Beugung, Einzelspaltbeugung, kreisförmige Öffnung, Beugungsgitter, Rayleighs Kriterium und Holographie.

Interne Vorbereitung auf das Assessment

• Reelle Zahlen, reelle Funktionen, Riemann-Integral und numerische Reihen werden in Analysis 1 untersucht.
• Gruppen, Ringe, Polynome, Vektorräume, Matrizen und affine Geometrie werden in Algebra und Geometrie behandelt.

Analyse 1

• Reelle Zahlen: Axiomatische Konstruktion, Ordnung, obere Grenze, reelle Zahlenfolgen (Definition, Beispiele, Konvergenz, Vergleiche), Häufungspunkte, Cauchy-Folgen, Auszüge, rekursive Folgen $u_{n+1} = f(u_n)$.
• Reelle Funktionen einer reellen Variablen: Grenzwert, Stetigkeit, gleichmäßige Stetigkeit, Zwischenwertsatz, Differenzierbarkeit, Mittelwertsatz, Untersuchung der Variationen einer Funktion, Konvexität.
• Riemann-Integral: Definition, Eigenschaften, Stammfunktionen, partielle Integration, Variablenwechsel, Anwendungen zur Berechnung von Flächen und Volumen, uneigentliche Integrale.
• Numerische Reihen: Konvergenz, absolute Konvergenz, Reihen mit positiven Elementen, Vergleich mit einem Integral, alternierende Reihen, Riemann-Reihen.

Algebra und Geometrie

• Gruppe: Beispiele (symmetrische Gruppe, lineare Gruppe), Untergruppen, Homomorphismen, Äquivalenzrelationen, Nebenklassen, Sätze von Lagrange, Quotientengruppen.
• Ringe: Beispiele ($\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, $K[X]$), Unterringe, Homomorphismen, Ideale, Quotientenringe, Körper.
• Polynome mit einer Unbestimmten: Definition, Operationen, Teilbarkeit, größter gemeinsamer Teiler, kleinstes gemeinsames Vielfaches, Wurzeln, Beziehungen zwischen Koeffizienten und Wurzeln, irreduzible Polynome, Zerfällungskörper.
• Vektorräume: Definition, Beispiele (Funktionenräume, $K^n$, $K[X]$), Untervektorräume, lineare Abbildungen, Kern, Bild, Rang.
• Matrizen: Operationen, lineare Systeme, Determinante, Inverse, Rang, Gauß-Reduktion.
• Reduktion von Endomorphismen: Eigenwerte, charakteristisches Polynom, Diagonalisierung, Trigonalisierung, Anwendungen auf lineare Differentialgleichungen.
• Affine Geometrie der Ebene und des Raums: kartesische Bezugssysteme, Baryzentren, affine Abbildungen, Gleichungen von Geraden und Ebenen, Skalarprodukt, Kreuzprodukt, Spatprodukt, Abstände, Winkel.

Physik: Vektoren

Vektoraddition: Analytische Methode

• Die Bestimmung der Summe von Vektoren kann durch die Zerlegung jedes Vektors in seine x- und *y-*Komponenten erfolgen.
• Vektorkomponenten:
• $V_x = V\cos(\theta)$
• $V_y = V\sin(\theta)$
• Bei der Addition mehrerer Vektoren kann man zunächst die Komponenten der einzelnen Vektoren addieren, um die Resultierenden zu erhalten und diese dann wieder in einen Vektor umwandeln
• Beispiel:*

Gegeben seien die Vektoren:

• $\vec{A} = 25u, 30^\circ$
• $\vec{B} = 40u, 120^\circ$

Die Resultierende wird mit folgender Tabelle berechnet:

• Die resultierende Größe ist $R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{(1.65)^2 + (47.14)^2} = 47.17u$
• Der resultierende Winkel ist $\theta = \arctan(\frac{R_y}{R_x}) = \arctan(\frac{47.14}{1.65}) = 88^\circ$
• Daher ist $\vec{R} = 47.17u, 88^\circ$

Algorithmische Komplexität

Definition

• Algorithmische Komplexität (oder Rechenkomplexität) misst die Ressourcenmenge:typischerweise Zeit oder Raum: die ein Algorithmus benötigt, um ein Problem mit einer bestimmten Größe zu lösen.
• Sie bietet eine Möglichkeit, die Effizienz verschiedener Algorithmen zu vergleichen und vorherzusagen, wie sich ihre Leistung mit zunehmender Eingabegröße skaliert.

Zeitkomplexität

• Definition: Die Zeitkomplexität quantifiziert die Zeitmenge, die ein Algorithmus in Abhängigkeit von der Eingabegröße benötigt.
• Notation: Die Big-O-Notation (O) wird üblicherweise verwendet, um die obere Grenze der Zeitkomplexität auszudrücken.
• $O(1)$: Konstante Zeit
• $O(log n)$: Logarithmische Zeit
• $O(n)$: Lineare Zeit
• $O(n log n)$: Linearithmische Zeit
• $O(n^2)$: Quadratische Zeit
• $O(2^n)$: Exponentielle Zeit

Raumkomplexität

• Definition: Die Raumkomplexität quantifiziert die Menge an Speicherplatz, die ein Algorithmus in Abhängigkeit von der Eingabegröße benötigt.
• Überlegungen: Dies beinhaltet den Speicherplatz für Eingabedaten, Hilfsvariablen und Datenstrukturen.

Häufige Komplexitätsklassen

Best-, Durchschnitts- und Worst-Case-Komplexität

• Best-Case: Die minimale Menge an Ressourcen, die für eine bestimmte Eingabe benötigt wird.
• Average-Case: Die durchschnittliche Menge an Ressourcen, die für alle möglichen Eingaben benötigt wird.
• Worst-Case: Die maximale Menge an Ressourcen, die für jede Eingabe einer bestimmten Größe benötigt wird. (Wird normalerweise berücksichtigt)

Techniken zur Analyse der Komplexität

1. Identifizieren dominanter Operationen: Bestimmen Sie die Operationen, die am meisten zur Gesamtkomplexität beitragen.
2. Operationen zählen: Zählen Sie die Anzahl der Ausführungen dominanter Operationen als Funktion der Eingabegröße.
3. Komplexität ausdrücken: Drücken Sie die Komplexität mit der Big-O-Notation aus und konzentrieren Sie sich auf den Term höchster Ordnung.

Beispiel

Ein binärer Suchalgorithmus hat eine Zeitkomplexität von $O(log n)$

Algorithmische Spieltheorie

Was ist algorithmische Spieltheorie?

• Schnittbereich von Informatik und Wirtschaftswissenschaften
• Entwicklung von Algorithmen für strategische Interaktionen
• Analyse des strategischen Verhaltens aus rechentechnischer Sicht

Themen in AGT

• Mechanismusdesign
• Preis der Anarchie
• Rechnerische Spieltheorie

Egoistisches Routing

• Ein Spiel, bei dem jeder Spieler versucht, seine eigenen Kosten zu minimieren
• Ein Netzwerk wird als ein Graph modelliert, in dem Kanten Kostenfunktionen haben, die vom Fluss abhängen
• Spieler wollen Flüsse zwischen zwei festen Knoten transportieren
• Ein Nash-Gleichgewicht ist ein Fluss, bei dem kein Spieler seine Kosten senken kann, indem er einseitig seinen Pfad ändert

Braess's Paradox

Das Hinzufügen einer Kante zum Netzwerk kann die Leistung verschlechtern.

Nehmen wir an, wir haben das folgende Netzwerk:

    A ----> B
    ^       |
    |       v
    D ----> C

• $A \to C$: $f(x) = x$
• $A \to B$: $f(x) = 10$
• $B \to C$: $f(x) = x$
• $D \to C$: $f(x) = 10$

Angenommen, ein Fluss muss von A nach C gehen

Im Gleichgewicht teilt sich der Fluss gleichmäßig auf:

• Die Hälfte fährt $A \to B \to C$ zu Kosten von $15$
• Die Hälfte fährt $A \to D \to C$ zu Kosten von $15$

Wenn der gesamte Verkehr einen Pfad nehmen würde, würde er $10 + 1 = 11$ kosten.

Fügen wir nun eine Kante $B \to D$ mit $f(x) = 0$ hinzu

    A ----> B
    ^       |
    |       v
    D ----> C

Jetzt fährt jeder Fluss $A \to B \to D \to C$ zu Kosten von $20$

Preis der Anarchie

• Ein Maß dafür, wie schlecht ein Nash-Gleichgewicht sein kann
• Definiert als das Verhältnis der Kosten des schlimmsten Nash-Gleichgewichts zu den sozial optimalen Kosten
• $PoA = \frac{Cost(Nash)}{Cost(Opt)}$

Mechanismusdesign

• Wie man ein Spiel entwirft, um ein gewünschtes Ergebnis zu erzielen
• Die Spieler verfügen über private Informationen
• Der Mechanismus sammelt Informationen von den Spielern und bestimmt dann das Ergebnis
• Beispiel: Auktionen

Algorithmisches Mechanismusdesign

• Mechanismusdesign, bei dem rechnerische Aspekte entscheidend sind
• Rechnerisch eingeschränkte Spieler
• Rechnerisch eingeschränkter Mechanismus
• Beispiel: Kombinatorische Auktionen

Wichtige Themen

• Vickrey-Clarke-Groves (VCG) Mechanismus
• Auktionen
• Maschinelles Lernen

Vickrey-Clarke-Groves (VCG) Mechanismus

• Eine Art der Auktion, bei der der Gewinner den zweithöchsten Preis zahlt
• Ein allgemeiner Mechanismus der wahren Geldentlohnung zur Berechnung des sozial optimalen Ergebnisses
• Die Teilnehmer reichen ihre Gebote ein
• Der Mechanismus bestimmt die Zuteilung, die die Summe der Gebote maximiert
• Jeder Teilnehmer erhält eine Zahlung, die dem Schaden entspricht, den er anderen Teilnehmern zufügt

Zusammenfassung

In dieser Vorlesung wurden die Grundlagen der algorithmischen Spieltheorie behandelt, einschließlich dessen, was sie ist, einiger der wichtigsten Themen und einiger wichtiger Beispiele.

Lektion 14 - Schätzung

Punktschätzung

Definition

Eine Punktschätzung eines bestimmten Populationsparameters $\theta$ ist eine einzelne Zahl $\hat{\theta}$, die unsere "beste Schätzung" für den Wert von $\theta$ darstellt.

Wünschenswerte Eigenschaften für Schätzer

• Unverzerrt: $E[\hat{\theta}] = \theta$
• Konsistent: $\hat{\theta} \xrightarrow{p} \theta$
• Effizient: minimale Varianz (Cramer-Rao-Untergrenze erreichen)

Momentenmethode

Beschreibung

Gleichen Sie Stichprobenmomente mit Populationsmomenten ab

Beispiel

Sei $X_1,..., X_n \stackrel{iid}{\sim} Poisson(\lambda)$. Schätzen Sie $\lambda$?

Lösung

$E[X] = \lambda$

$E[\bar{X}] = \lambda$

$\hat{\lambda} = \bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$

Maximum-Likelihood-Schätzung

Likelihood-Funktion

$L(\theta; x_1,..., x_n) = f(x_1,..., x_n; \theta) = \prod_{i=1}^n f(x_i; \theta)$, wenn $X_i$ unabhängig sind.

Log-Likelihood-Funktion

$\ell(\theta; x_1,..., x_n) = log(L(\theta; x_1,..., x_n))$

Verfahren

1. Nehmen Sie die Ableitung von $\ell(\theta; x_1,..., x_n)$ in Bezug auf $\theta$
2. Setzen Sie sie auf 0 und lösen Sie nach $\theta$ auf.

Beispiel

Sei $X_1,..., X_n \stackrel{iid}{\sim} N(\mu, \sigma^2)$. Schätzen Sie $\mu$ und $\sigma^2$

Lösung

$\ell(\mu, \sigma^2; x_1,..., x_n) = \sum_{i=1}^n log(\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(x_i - \mu)^2})$

$= \sum_{i=1}^n [log(\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}) + log(e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(x_i - \mu)^2})]$

$= \sum_{i=1}^n [-\frac{1}{2}log(2\pi\sigma^2) - \frac{1}{2\sigma^2}(x_i - \mu)^2]$

$= -\frac{n}{2}log(2\pi\sigma^2) - \frac{1}{2\sigma^2}\sum_{i=1}^n(x_i - \mu)^2$

$\frac{\partial\ell}{\partial\mu} = -\frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^n 2(x_i - \mu)(-1) = \frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^n (x_i - \mu) = 0$

$\sum_{i=1}^n (x_i - \mu) = 0 \implies \sum_{i=1}^n x_i - n\mu = 0 \implies \hat{\mu} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i = \bar{x}$

$\frac{\partial\ell}{\partial\sigma^2} = -\frac{n}{2}\frac{2\pi}{2\pi\sigma^2} - \frac{1}{2}(-\frac{1}{(\sigma^2)^2})\sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 = 0$

$-\frac{n}{2\sigma^2} + \frac{1}{2(\sigma^2)^2}\sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 = 0$

$\frac{n}{2\sigma^2} = \frac{1}{2(\sigma^2)^2}\sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2$

$n = \frac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2$

$\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \hat{\mu})^2$

Intervallschätzung

Definition

Eine Intervallschätzung eines bestimmten Populationsparameters $\theta$ ist ein Intervall $(L, U)$, in dem wir glauben, dass $\theta \in (L, U)$.

Konfidenzintervall

$P(L \le \theta \le U) = 1 - \alpha$

$\alpha$ ist das Signifikanzniveau

$1 - \alpha$ ist das Konfidenzniveau

Verfahren

1. Finden Sie eine Drehgröße $Q(X_1,..., X_n; \theta)$, deren Verteilung nicht von unbekannten Parametern abhängt.
2. Finden Sie Konstanten $a$ und $b$, sodass $P(a \le Q \le b) = 1 - \alpha$
3. Manipulieren Sie $a \le Q \le b$, sodass es die Form $L \le \theta \le U$ hat

Beispiel

Sei $X_1,..., X_n \stackrel{iid}{\sim} N(\mu, \sigma^2)$, wobei $\sigma^2$ bekannt ist. Finden Sie ein $(1 - \alpha)$-Konfidenzintervall für $\mu$.

Lösung

$\bar{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$

$Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0, 1)$ (Drehgröße)

$P(-z_{\alpha/2} \le Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha$

$P(-z_{\alpha/2} \le \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \le z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha$

$P(-z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \bar{X} - \mu \le z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}) = 1 - \alpha$

$P(-\bar{X} - z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le -\mu \le -\bar{X} + z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}) = 1 - \alpha$

$P(\bar{X} - z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \mu \le \bar{X} + z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}) = 1 - \alpha$

$(\bar{X} - z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{X} + z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}})$

Übung 1

Betrachten Sie die Funktion $f$, die auf $\mathbb{R}$ definiert ist durch

$f(x) = \frac{e^x}{1 + e^x}$

Bezeichnen Sie mit $C_f$ die grafische Darstellung im orthonormierten Koordinatensystem $(O; \vec{i}, \vec{j})$.

1. Studieren Sie die Grenzwerte von $f$ in $+\infty$ und $-\infty$. Interpretieren Sie grafisch.

2. Zeigen Sie, dass für alle $x \in \mathbb{R}$, $f'(x) = \frac{e^x}{(1 + e^x)^2}$. Leiten Sie daraus die Variationsrichtung von $f$ ab.

3. Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente $(T)$ an $C_f$ am Punkt mit der Abszisse 0.

4. Betrachten Sie die Funktion $g$, die auf $\mathbb{R}$ durch $g(x) = f(x) - \frac{x}{4} - \frac{1}{2}$ definiert ist.

   1. Zeigen Sie, dass für alle $x \in \mathbb{R}$, $g'(x) = \frac{(e^x - 1)^2}{4(1 + e^x)^2}$.

   2. Leiten Sie daraus die Variationsrichtung von $g$ ab.

   3. Zeigen Sie, dass für alle $x \in \mathbb{R}$, $g(x) \ge 0$.

   4. Was kann man über die relative Position von $C_f$ und $(T)$ schließen?

Übung 2

Sei $f$ die Funktion, die auf $]0; +\infty[$ definiert ist und durch

$f(x) = x - 2 + \ln x$

1. Studieren Sie die Grenzwerte von $f$ an den Grenzen ihrer Definitionsmenge.

2. Studieren Sie die Veränderungen von $f$ und erstellen Sie ihre Variationstabelle.

3. Zeigen Sie, dass die Gleichung $f(x) = 0$ genau eine Lösung $\alpha$ in $]0; +\infty[$ hat und geben Sie eine Einschließung von $\alpha$ mit einer Amplitude von 0,1 an.

4. Leiten Sie daraus das Vorzeichen von $f(x)$ auf $]0; +\infty[$ ab.

5. Betrachten Sie die Funktion $g$, die auf $]0; +\infty[$ durch G(x) = (x - 1)(ln x - 1) definiert ist.

   1. Berechnen Sie $g'(x)$ und zeigen Sie, dass $g'(x)$ und $f(x)$ das gleiche Vorzeichen haben.

   2. Erstellen Sie die Variationstabelle von $g$.

Satz von Bayes

• In der Wahrscheinlichkeitstheorie beschreibt der Satz von Bayes die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses basierend auf Vorwissen über Bedingungen, die mit dem betreffenden Ereignis in Verbindung stehen könnten.
• Formal wird der Satz von Bayes wie folgt ausgedrückt:
• $P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$
• $P(A|B)$ ist die Wahrscheinlichkeit a posteriori von A, gegeben B ist wahr.
• $P(B|A)$ ist die Wahrscheinlichkeit von B, gegeben A ist wahr.
• $P(A)$ ist die Wahrscheinlichkeit a priori von A.
• $P(B)$ ist die Wahrscheinlichkeit a priori von B.

Ableitung des Satzes

Bedingte Wahrscheinlichkeit

• Die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A, gegeben ein Ereignis B tritt ein, ist definiert als:
• $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$
• Ebenso ist die bedingte Wahrscheinlichkeit von B, gegeben A:
• $P(B|A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)}$
• Da $P(A \cap B) = P(B \cap A)$ ist, können wir die obigen Gleichungen umschreiben als:
• $P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A)$
• Teilen wir beide Seiten durch P(B), erhalten wir den Satz von Bayes:
• $P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$

Beispiel

• Angenommen, ein Test zum Nachweis einer Krankheit ist zu 99% genau.
• Das heißt, wenn eine Person die Krankheit hat, wird der Test dies mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,99 erkennen (richtig positiv).
• Wenn eine Person die Krankheit nicht hat, wird der Test mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,99 anzeigen, dass sie die Krankheit nicht hat (richtig negativ).
• Nehmen wir an, 0,1% der Bevölkerung haben die Krankheit.
• Es soll herausgefunden werden wie wahrscheinlich es ist, dass eine zufällig aus der Bevölkerung ausgewählte Person die Krankheit wirklich hat, wenn der Test positiv ist.

Lösung

• Definieren Sie die folgenden Ereignisse:
• D = die Person hat die Krankheit
• • = der Test ist positiv
• Die folgenden Wahrscheinlichkeiten sind bekannt:
• P(D) = 0,001 (Wahrscheinlichkeit a priori, die Krankheit zu haben)
• P(+|D) = 0,99 (Sensitivität des Tests)
• P(+|¬D) = 0,01 (Falsch-positiv-Rate)
• P(D|+) soll gefunden werden, die Wahrscheinlichkeit, die Krankheit zu haben, gegeben dass der Test positiv ist.
• Mit dem Satz von Bayes:
• $P(D|+) = \frac{P(+|D)P(D)}{P(+)}$
• Rechne $P(+)$ aus. Wir können das Gesetz der totalen Wahrscheinlichkeit verwenden:
• $P(+) = P(+|D)P(D) + P(+|¬D)P(¬D)$
• $P(+) = (0,99)(0,001) + (0,01)(0,999) = 0,01098$
• $P(D|+)$ errechnet sich wie folgt:
• $P(D|+) = \frac{(0,99)(0,001)}{0,01098} \approx 0,08998$
• Selbst wenn der Test positiv ist, die Wahrscheinlichkeit, dass die Person die Krankheit wirklich hat, liegt nur bei etwa 9%.