Wektory i operacje na wektorach

Podstawy algebry liniowej

• Algebra liniowa zajmuje się wektorami, macierzami i systemami równań liniowych.
• Ma zastosowanie w wielu dziedzinach, w tym w fizyce, informatyce, ekonomii i inżynierii.

Wektory

• Wektor w $\mathbb{R}^n$ to uporządkowana lista $n$ liczb rzeczywistych, np. $v = \begin{bmatrix} v_1 \ v_2 \ \vdots \ v_n \end{bmatrix}$.
• Liczby $v_1, v_2, ..., v_n$ to składowe wektora $v$.

Operacje na wektorach

• Dodawanie wektorów $u, v \in \mathbb{R}^n$ definiuje się jako $u + v = \begin{bmatrix} u_1 + v_1 \ u_2 + v_2 \ \vdots \ u_n + v_n \end{bmatrix}$.
• Mnożenie wektora $v \in \mathbb{R}^n$ przez skalar $c \in \mathbb{R}$ definiuje się jako $cv = \begin{bmatrix} cv_1 \ cv_2 \ \vdots \ cv_n \end{bmatrix}$.
• Iloczyn skalarny wektorów $u, v \in \mathbb{R}^n$ definiuje się jako $u \cdot v = u_1v_1 + u_2v_2 + ... + u_nv_n = \sum_{i=1}^{n} u_iv_i$.
• Norma wektora $v \in \mathbb{R}^n$ to $||v|| = \sqrt{v \cdot v} = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + ... + v_n^2}$.
• Odległość między wektorami $u, v \in \mathbb{R}^n$ to $d(u, v) = ||u - v|| = \sqrt{(u_1 - v_1)^2 + (u_2 - v_2)^2 + ... + (u_n - v_n)^2}$.

Macierze

• Macierz $A$ o wymiarach $m \times n$ to prostokątna tablica liczb rzeczywistych z $m$ wierszami i $n$ kolumnami.
• Element $a_{ij} \in \mathbb{R}$ znajduje się w $i$-tym wierszu i $j$-tej kolumnie macierzy $A$.

Operacje na macierzach

• Dodawanie macierzy $A, B$ o wymiarach $m \times n$ definiuje się jako $(A + B){ij} = A{ij} + B_{ij}$.
• Mnożenie macierzy $A$ o wymiarach $m \times n$ przez skalar $c \in \mathbb{R}$ definiuje się jako $(cA){ij} = cA{ij}$.
• Mnożenie macierzy $A$ o wymiarach $m \times p$ i macierzy $B$ o wymiarach $p \times n$ daje macierz $AB$ o wymiarach $m \times n$, gdzie $(AB){ij} = \sum{k=1}^{p} A_{ik}B_{kj}$.

Systemy równań liniowych

• System równań liniowych to zbiór równań liniowych z tymi samymi zmiennymi.
• System taki można zapisać w postaci:
  • $a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1$
  • $a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2$
  • $\vdots$
  • $a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m$
• $x_1, x_2,..., x_n$ to zmienne, $a_{ij}$ są współczynnikami, a $b_i$ są stałymi.

Rozwiązywanie systemów równań liniowych

• Eliminacja Gaussa polega na transformacji macierzy rozszerzonej systemu do formy schodkowej.
• Reguła Cramera używa wyznaczników do rozwiązywania systemów równań liniowych.
• System równań liniowych można zapisać w formie macierzowej jako $Ax = b$.
  • $A$ to macierz współczynników, $x$ to wektor zmiennych, a $b$ to wektor stałych.

Przestrzenie wektorowe

• Przestrzeń wektorowa $V$ to zbiór wektorów z operacjami dodawania i mnożenia przez skalar.
• Spełnione muszą być pewne aksjomaty.
• Podprzestrzeń wektorowa $H$ to podzbiór $V$, który sam jest przestrzenią wektorową.
• Baza przestrzeni wektorowej $V$ to zbiór liniowo niezależnych wektorów, które generują $V$.
• Wymiar przestrzeni wektorowej $V$ to liczba wektorów w jej bazie.

Przekształcenia liniowe

• Przekształcenie liniowe $T: V \rightarrow W$ zachowuje operacje dodawania i mnożenia przez skalar.
• Przekształcenie liniowe $T: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ można reprezentować macierzą $A$ o wymiarach $m \times n$ tak, że $T(x) = Ax$.
• Jądro przekształcenia $T: V \rightarrow W$ to zbiór wektorów $v \in V$, dla których $T(v) = 0$.
• Obraz przekształcenia $T$ to zbiór wektorów $w \in W$, dla których istnieje wektor $v \in V$ taki, że $T(v) = w$.

Wartości własne i wektory własne

• Dla macierzy kwadratowej $A$, wektor własny $v$ spełnia równanie $Av = \lambda v$.
• Skalar $\lambda$ to wartość własna.
• Wielomian charakterystyczny macierzy $A$ to $p(\lambda) = \det(A - \lambda I)$.
• Macierz $A$ jest diagonalizowalna, jeśli $A = PDP^{-1}$ dla pewnych macierzy $P$ i $D$, gdzie $D$ jest diagonalna.

Podstawowe pojęcia fizyczne

• Fizyka wykorzystuje wektory, kinematykę i dynamikę do opisu ruchu i sił.
• Wektory mają kierunek i wartość (moduł).
• Przykładami wektorów są prędkość, przyspieszenie i siła.
• Wektory zapisuje się jako $\vec{A}$, $\bold{A}$ lub $\hat{A}$.

Wektor jednostkowy

• Wektor jednostkowy ma długość równą 1.
• Wektor $\hat{i} = (1,0,0)$ to wektor jednostkowy osi x.
• Wektor $\hat{j} = (0,1,0)$ to wektor jednostkowy osi y.
• Wektor $\hat{k} = (0,0,1)$ to wektor jednostkowy osi z.

Moduł wektora

• Moduł wektora $\vec{A}$ oblicza się jako $A = |\vec{A}| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}$.

Dodawanie wektorów

• Dodawanie wektorów $\vec{A}$ i $\vec{B}$ to: $\vec{A} + \vec{B} = (A_x + B_x)\hat{i} + (A_y + B_y)\hat{j} + (A_z + B_z)\hat{k}$.

Iloczyn skalarny

• Iloczyn skalarny $\vec{A} \cdot \vec{B}$ to: $|\vec{A}||\vec{B}|cos(\theta)$ lub $A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z$.

Iloczyn wektorowy

• Iloczyn wektorowy $\vec{A} \times \vec{B}$ to: $|\vec{A}||\vec{B}|sin(\theta)\hat{n}$ lub $(A_y B_z - A_z B_y)\hat{i} + (A_z B_x - A_x B_z)\hat{j} + (A_x B_y - A_y B_x)\hat{k}$.

Kinematyka

• Przemieszczenie to zmiana położenia.
• Prędkość to zmiana położenia w czasie.
• Przyspieszenie to zmiana prędkości w czasie.

Równania ruchu

• $v = u + at$ (prędkość końcowa)
• $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ (droga)
• $v^2 = u^2 + 2as$ (zależność prędkości od drogi)
• $s = \frac{1}{2}(u + v)t$ (droga z prędkością średnią)

Dynamika

• I prawo Newtona: Ciało pozostaje w spoczynku lub ruchu jednostajnym prostoliniowym, dopóki nie działa na nie siła zewnętrzna.
• II prawo Newtona: $F = ma$ (siła = masa * przyspieszenie).
• III prawo Newtona: Akcja wywołuje reakcję równą co do wartości i przeciwną co do kierunku.

Inne pojęcia w dynamice

• Ciężar: $W = mg$ (masa * przyspieszenie ziemskie).
• Tarcie: $F_f \le \mu F_N$ ($\mu$ - współczynnik tarcia, $F_N$ - siła normalna).
• Pęd: $p = mv$ (masa * prędkość).
• Impuls: $I = \Delta p = F\Delta t$ (zmiana pędu).
• Praca: $W = F \cdot d$ (siła * przesunięcie).
• Energia kinetyczna: $KE = \frac{1}{2}mv^2$.
• Energia potencjalna grawitacji: $GPE = mgh$.
• Zasada zachowania energii: $KE_1 + PE_1 = KE_2 + PE_2$.
• Moc: $P = \frac{W}{t} = Fv$ (praca/czas lub siła * prędkość).

Wprowadzenie do metody elementów skończonych (MES) dla 2D elastyczności

• MES to metoda numeryczna do rozwiązywania problemów inżynierskich i fizycznych.
• W 2D elastyczności MES służy do analizy naprężeń i odkształceń.

Stan naprężenia płaskiego

• Dotyczy cienkich płyt, gdzie grubość jest mała w porównaniu z wymiarami płaskimi.
• Zakłada się, że $\sigma_z = \tau_{xz} = \tau_{yz} = 0$.
• Naprężenia $\sigma_x$, $\sigma_y$, $\tau_{xy}$ zależą tylko od x i y.

Stan odkształcenia płaskiego

• Dotyczy obiektów o dużej grubości w porównaniu z wymiarami płaskimi (np. tama).
• Zakłada się, że $\epsilon_z = \gamma_{xz} = \gamma_{yz} = 0$.
• Odkształcenia $\epsilon_x$, $\epsilon_y$, $\gamma_{xy}$ zależą tylko od x i y.

Modele konstytutywne

• Stan naprężenia płaskiego: $\begin{Bmatrix} \sigma_x \\ \sigma_y \\ \tau_{xy} \end{Bmatrix} = \frac{E}{1 - \nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1 - \nu}{2} \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \epsilon_x \\ \epsilon_y \\ \gamma_{xy} \end{Bmatrix}$
• Stan odkształcenia płaskiego: $\begin{Bmatrix} \sigma_x \\ \sigma_y \\ \tau_{xy} \end{Bmatrix} = \frac{E}{(1 + \nu)(1 - 2\nu)} \begin{bmatrix} 1 - \nu & \nu & 0 \\ \nu & 1 - \nu & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1 - 2\nu}{2} \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \epsilon_x \\ \epsilon_y \\ \gamma_{xy} \end{Bmatrix}$
• Gdzie: E to moduł Younga, $\nu$ to współczynnik Poissona.

Typy elementów

• Trójkąty
• Czworokąty

Równania 2D elastyczności

• Wektor przemieszczeń: $\mathbf{u} = \begin{Bmatrix} u(x, y) \\ v(x, y) \end{Bmatrix}$.
• Wektor odkształceń: $\mathbf{\epsilon} = \begin{Bmatrix} \epsilon_x \\ \epsilon_y \\ \gamma_{xy} \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} \\ \frac{\partial v}{\partial y} \\ \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x} \end{Bmatrix}$.
• Wektor naprężeń: $\mathbf{\sigma} = \begin{Bmatrix} \sigma_x \\ \sigma_y \\ \tau_{xy} \end{Bmatrix} = \mathbf{D} \mathbf{\epsilon}$.
• Wektor sił: $\mathbf{f} = \begin{Bmatrix} f_x \\ f_y \end{Bmatrix}$.

Zasada pracy wirtualnej

• $\int_{\Omega} \delta \mathbf{\epsilon}^T \mathbf{\sigma} d\Omega = \int_{\Omega} \delta \mathbf{u}^T \mathbf{f} d\Omega + \int_{\Gamma} \delta \mathbf{u}^T \mathbf{t} d\Gamma$
• $\Omega$ - obszar, $\Gamma$ - brzeg, $\delta$ - wariacja.

Element trójkątny o stałym odkształceniu (CST)

• Prosty element do MES.

Geometria elementu

• Wierzchołki trójkąta oznaczane są współrzędnymi $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$, $(x_3, y_3)$ i numerowane w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.

Przemieszczenia elementu

• $\mathbf{u(x, y)} = \mathbf{N(x, y) d}$.
• $\mathbf{u} = \begin{Bmatrix} u(x, y) \\ v(x, y) \end{Bmatrix}$ - wektor przemieszczeń
  • $\mathbf{d} = \begin{Bmatrix} u_1 \\ v_1 \\ u_2 \\ v_2 \\ u_3 \\ v_3 \end{Bmatrix}$ - wektor przemieszczeń węzłowych
  • $\mathbf{N} = \begin{bmatrix} N_1 & 0 & N_2 & 0 & N_3 & 0 \\ 0 & N_1 & 0 & N_2 & 0 & N_3 \end{bmatrix}$ - macierz funkcji kształtu

Funkcje kształtu

• $N_i = a_i + b_i x + c_i y$, $i = 1, 2, 3$
• $a_i = \frac{1}{2A} (x_{i+1}y_{i+2} - x_{i+2}y_{i+1})$
• $b_i = \frac{1}{2A} (y_{i+1} - y_{i+2})$
• $c_i = \frac{1}{2A} (x_{i+2} - x_{i+1})$
• $A = \frac{1}{2} \begin{vmatrix} 1 & x_1 & y_1 \\ 1 & x_2 & y_2 \\ 1 & x_3 & y_3 \end{vmatrix} = \frac{1}{2} [x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)]$ - pole trójkąta
• Indeksy $i+1$ i $i+2$ są interpretowane cyklicznie (np. jeśli $i=3$, to $i+1 = 1$ i $i+2 = 2$).

Odkształcenia elementu

• $\mathbf{\epsilon = B d}$ - $\mathbf{\epsilon} = \begin{Bmatrix} \epsilon_x \\ \epsilon_y \\ \gamma_{xy} \end{Bmatrix}$ - wektor odkształceń - $\mathbf{B} = \begin{bmatrix} b_1 & 0 & b_2 & 0 & b_3 & 0 \\ 0 & c_1 & 0 & c_2 & 0 & c_3 \\ c_1 & b_1 & c_2 & b_2 & c_3 & b_3 \end{bmatrix}$ - macierz odkształceń

Naprężenia elementu

• $\mathbf{\sigma = D \epsilon = D B d}$ - $\mathbf{\sigma} = \begin{Bmatrix} \sigma_x \\ \sigma_y \\ \tau_{xy} \end{Bmatrix}$ - Wektor naprężeń

Macierz sztywności elementu

• $\mathbf{k} = \int_A \mathbf{B}^T \mathbf{D B} t dA = t A \mathbf{B}^T \mathbf{D B}$ - t - grubość elementu

Siły węzłowe elementu

• $\mathbf{f} = \int_A \mathbf{N}^T \mathbf{f} t dA$