Властивості тригонометричних функцій

Властивості тригонометричних функцій: тест

• Означення тригонометричних функцій. Тригонометричні функції (синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс, косеканс) описують співвідношення сторін прямокутного трикутника. Вони пов'язують кути трикутника з його сторонами.

• Основні співвідношення. Основними співвідношеннями між тригонометричними функціями є формули, що випливають з визначень:

  • sin²x + cos²x = 1 (основна тригонометрична тотожність)
  • tanx = sinx/cosx (для x ≠ π/2 + kπ, де k - ціле число)
  • cotx = cosx/sinx (для x ≠ kπ, де k - ціле число)
  • secx = 1/cosx (для x ≠ π/2 + kπ)
  • cscx = 1/sinx (для x ≠ kπ)

• Періодичність. Тригонометричні функції — періодичні функції. Це означає, що їх значення повторюються через певний інтервал.

  • Період синуса та косинуса дорівнює 2π.
  • Період тангенса та котангенса дорівнює π.

• Знаки тригонометричних функцій в різних чвертях. Знаки тригонометричних функцій залежать від кута, в якій чверті знаходиться.

  • Перша чверть: всі тригонометричні функції додатні.
  • Друга чверть: додатні тільки синус та косеканс.
  • Третя чверть: додатні тільки тангенс та котангенс.
  • Четверта чверть: додатні тільки косинус та секанс.

• Властивості парності та непарності.

  • Синус та косеканс — непарні функції.
  • Косинус та секанс — парні функції.
  • Тангенс та котангенс — непарні функції.

• Зв'язок з кутовими функціями. Тригонометричні функції пов'язані з кутами, вимірюваними в радіанах, градусах або інших одиницях виміру.

• Графіки тригонометричних функцій. Графіки тригонометричних функцій демонструють їх періодичність та поведінку в різних чвертях.

• Прості тригонометричні тотожності.

  • Знання основних співвідношень допомагає спрощувати складні тригонометричні вирази.
  • Розуміння властивостей використовується в розв'язанні тригонометричних рівнянь та нерівностей.

• Тригонометричні формули суми та різниці кутів.

  • Дозволяють розкласти вирази на більш простіші компоненти.
  • У деяких ситуаціях необхідні для розв'язання складніших задач.

• Тригонометричні формули подвійного та половинного кутів.

  • Корисні для спрощення та розкладання тригонометричних виразів.
  • Застосовуються в розв'язанні різних тригонометричних задач та рівнянь.

• Обчислення значень тригонометричних функцій.

  • Використовуються різноманітні методи, включаючи таблиці, графіки, калькулятори.
  • Важливо знати, які значення використовуються в певних контекстах.

• Інші корисні властивості.

  • Тригонометричні функції мають широкий спектр додатків у багатьох галузях — фізиці, інженерії, геометрії та інших.
  • Розуміння властивостей дозволяє правильно застосовувати їх у різних ситуаціях.

Завдання для практики:

• Намалюйте графіки основних тригонометричних функцій.
• Знайдіть значення тригонометричних функцій для деяких кутів (наприклад, 0, π/2, π, 3π/2).
• Доведіть основну тригонометричну тотожність.
• Виведіть формули суми та різниці кутів для синуса та косинуса.
• Спростіть складні тригонометричні вирази, використовуючи відомі тотожності.

Додаткові теми для вивчення:

• Розв'язання тригонометричних рівнянь та нерівностей.
• Зворотні тригонометричні функції.
• Тригонометричні ряди Фур'є.